非参数统计学讲义(第六章)分布检验和某些卡方检验

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1、非参数统计学讲义主讲：统计系袁靖第六章分布检验和某些卡方检验§1引言本章属于拟合优度检验问题，即模型检验或分布的检验，属于非参数检验的范畴。在初等统计中，人们要想知道数据是否服从某一特定分布，可以通过直方图，或P-P图，Q-Q图来直接判断，但这种直观的方式很不精确。本章将介绍几种分布的检验：K-S检验，Lilliefors检验和检验。实际上，K-S检验是在针对检验的缺点检验与K-S检验均属拟合优度检验，但检验常用于定类尺度测量数据，K-S检验还用于定序尺度测量数据；当预期频数较小时，检验常需要合并邻近的类别才能计算，K-S检验则不需要，因此它

2、能比检验保留更多的信息；对于特别小的样本数目，检验不能应用，而K-S检验则不受限制。此外，检验需要人为对总体分布的支撑集进行划分，将总体分布转化成一种导出分布，后果：①样本信息利用不充分；②实际检验的是导出分布对数据的拟合优度，而不是假设分布对数据的拟合优度。上提出的。它们是建立在经验分布函数基础上的检验结果。§2Kolmogorov检验一、基本假设一般地要检验手中的样本是否来自某个已知，假定其真实分布为，对应的检验类型有对至少有一个x对至少有一个x对至少有一个x设为该组数据的经验分布函数，则二、基本方法Kolmogorov于三十年代提出了一

3、种基于经验分布的检验方法，基本思想是：由格里文科定理，当时，样本经验分布以概率1一致收敛到总体分布F，为此可以定义到的距离为当H0成立时，由格氏定理，D以概率1收敛到0，因此D的大小可以度量9第页对总体分布拟合的好坏。可供选择的检验统计量分别为；类型A类型B类型C在实际操作时，如果有n个观察值，用下面的统计量代替上面的DNOTE：①由的取值是离散的，考虑到跳跃性，该能够保证S与F0之间取得最大距离；②在H0下的分布有表可查，P201③在大样本时，有近似分布，这里的分布函数有表达式，P122，该分布有表可查P203：一、应用举例【例6-1】轴承

4、的内径检验检验某车间生产的20个轴承外座圈的内径，测得数据如下（单位：mm）表6-1轴承内径数据15.0415.3614.5714.5315.5714.6915.3714.6614.5215.4115.3414.2815.0114.7614.3815.8713.6614.9715.2914.95按照设计要求，这个内径应在15±0.2mm，检验是否符合标准，即检验该数据是否来自均值，方差的正态分布。分析：方法一，可以利用直方图、Q-Q图、P-P图进行直观判断；方法二，利用Kolmogorov检验9第页由P122表中数据得：，拒绝H0，认为不满足

5、要求。近似，P-值=0.979＞0.05，接受H0。【例6-2】《数理统计与管理》论文作者服从洛特卡分布洛特卡定律是1926年6月19日洛特卡（Vlachy）在美国颇有影响的学术刊物《华盛顿科学院杂志》上首先提出，它第一次提示了作者与文献量的统计规律性。在这之后，洛特卡进一步发展了洛特卡定律，得出这样的一个关系：若以x表示每一作者所著的论文数，与其相应的写x篇论文的作者数为y，则y与x成反比关系。将46期的《数理统计与管理》的文章按第一作者统计，得到表7-2的结果。论文作者数是否服从洛特卡分布。表6-2论文数目与作者数的统计表论文数（x）12

6、34567作者（y）3432791112分析：洛特卡得出这样的一个关系：若以x表示每一作者所著的论文数，与其相应的写x篇论文的作者数为y，则y与x成反比关系。即有(0.1)式中，N为论文总数，m、C为两个特定的常数，在不同的学科领域数值不同。假定根据表6—2提供的数据，认为论文作者服从洛特卡分布，并对其真实性进行检验，首先必须确定它的理论分布，即计算出m、C的值。估计m的值，通常采用最小二乘法。将（6.1）式进行对数变换，使其线性化，得到：(0.2)m相当于一元线性回归方程中的回归系数b，根据表中的数据运用最小二乘法，得到m=3.0550。关

7、于C值，可以用这样一个公式进行近似计算。这是1985年美国情报学家M.L.Pao教授在数学家的协助之下提出的。计算式为：经计算，。因此46期《数理统计与管理》的论文与作者数的理论洛特卡分布为(0.3)为了判定《数理统计与管理》论文作者的实际分布是否与理论分布一致，可以采用Kolmogorov检验。建立的假设组为对至少有一个x理论累积频率9第页的各个值，可以将x分别代入（6.3）式计算得到，实际累积频率是将累计的作者数分别除以作者总人数得到。计算结果，作者实际累积频率及理论累积频率及各个差值如表6-3。表6-3作者实际累积频率与理论累积频率表1

8、2345670.83890.93980.96900.98110.98720.99070.99290.89320.96350.98700.98960.99220.99