二元一次方程组竞赛题集(答案+解析)

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1、二元一次方程组典型例题【例1】　已知方程组的解x，y满足方程5x-y=3，求k的值.【思考与分析】　本题有三种解法，前两种为一般解法，后一种为巧解法.　（１）　由已知方程组消去k，得x与y的关系式，再与5x-y=3联立组成方程组求出x，y的值，最后将x，y的值代入方程组中任一方程即可求出k的值.　（２）　把k当做已知数，解方程组，再根据5x-y=3建立关于k的方程，便可求出k的值.　（３）　将方程组中的两个方程相加，得5x-y=2k+11，又知5x-y=3，所以整体代入即可求出k的值.　　把代入①，得，解得　k=-4.　解法二：　①×3－②×２，得　17y=k-22，　　　解法三：　

2、①+②，得　5x-y=2k+11.　又由5x-y=3，得　2k+11=3，解得　k=-4.【小结】　解题时我们要以一般解法为主，特殊方法虽然巧妙，但是不容易想到，有思考巧妙解法的时间，可能这道题我们已经用一般解法解了一半了，当然，巧妙解法很容易想到的话，那就应该用巧妙解二元一次方程组能力提升讲义知识提要1．二元一次方程组的解的情况有以下三种：①当时，方程组有无数多解。（∵两个方程等效）②当时，方程组无解。（∵两个方程是矛盾的）③当（即a1b2－a2b1≠0）时，方程组有唯一的解：　　　（这个解可用加减消元法求得）　　2．方程的个数少于未知数的个数时，一般是不定解，即有无数多解，若要求

3、整数解，可按二元一次方程整数解的求法进行。3．求方程组中的待定系数的取值，一般是求出方程组的解（把待定系数当己知数），再解含待定系数的不等式或加以讨论。（见例2、3）　例题　例1.　选择一组a,c值使方程组1.有无数多解，　2.无解，　3.有唯一的解【例2】解方程组   【思考与分析】本例是一个含字母系数的方程组.解含字母系数的方程组同解含字母系数的方程一样，在方程两边同时乘以或除以字母表示的系数时，也需要弄清字母的取值是否为零.   解：由①，得  y=4－mx，             ③   把③代入②，得 2x+5（4－mx）=8，   解得 （2－5m）x=-12，当2－5

4、m＝0，   即m＝时，方程无解，则原方程组无解.   当2－5m≠0，即m≠时，方程解为　将代入③，得　故当m≠时，　原方程组的解为例3.　a取什么值时，方程组的解是正数？例4.　m取何整数值时，方程组的解x和y都是整数？二元一次方程组的特殊解法1.二元一次方程组的常规解法，是代入消元法和加减消元法。这两种方法都是从“消元”这个基本思想出发，先把“二元”转化为“一元”把解二元一次方程组的问题归结为解一元一次方程，在“消元”法中，包含了“未知”转化到“已知”的重要数学化归思想。2、灵活消元（1）整体代入法1.解方程组（2）先消常数法2.解方程组（3）设参代入法3.解方程组（4）换元法

5、4.解方程组（5）简化系数法5.解方程组课堂练习1．不解方程组，判定下列方程组解的情况：①　　　②　　③2．a取哪些正整数值，方程组的解x和y都是正整数？3．要使方程组的解都是整数，k应取哪些整数值？二元一次方程组应用探索【知识链接】列二元一次方程组解应用题的一般步骤可概括为“审、找、列、解、答”五步，即：（1）审：通过审题，把实际问题抽象成数学问题，分析已知数和未知数，并用字母表示其中的两个未知数；（2）找：找出能够表示题意两个相等关系；（3）列：根据这两个相等关系列出必需的代数式，从而列出方程组；（4）解：解这个方程组，求出两个未知数的值；（5）答：在对求出的方程的解做出是否合理

6、判断的基础上，写出答案.二元一次方程组是最简单的方程组，其应用广泛，尤其是生活、生产实践中的许多问题，大多需要通过设元、布列二元一次方程组来加以解决，现将常见的几种题型归纳如下：一、数字问题例1一个两位数，比它十位上的数与个位上的数的和大9；如果交换十位上的数与个位上的数，所得两位数比原两位数大27，求这个两位数．分析：设这个两位数十位上的数为x，个位上的数为y，则这个两位数及新两位数及其之间的关系可用下表表示：十位上的数个位上的数对应的两位数相等关系原两位数xy10x+y10x+y=x+y+9新两位数yｘ10y+x10y+x=10x+y+27解方程组，得，因此，所求的两位数是14．

7、点评：由于受一元一次方程先入为主的影响，不少同学习惯于只设一元，然后列一元一次方程求解，虽然这种方法十有八九可以奏效，但对有些问题是无能为力的，象本题，如果直接设这个两位数为x，或只设十位上的数为x，那将很难或根本就想象不出关于x的方程．一般地，与数位上的数字有关的求数问题，一般应设各个数位上的数为“元”，然后列多元方程组解之．二、利润问题例2一件商品如果按定价打九折出售可以盈利20%；如果打八折出售可以盈利10元，问此商品的定价是多少？分析：商品的利润涉