排列、组合典型例题分析

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1、排列、组合典型例题分析　例1　设有3名学生和4个课外小组．（1）每名学生都只参加一个课外小组；（2）每名学生都只参加一个课外小组，而且每个小组至多有一名学生参加．各有多少种不同方法？    解（1）由于每名学生都可以参加4个课外小组中的任何一个，而不限制每个课外小组的人数，因此共有种不同方法．    　（2）由于每名学生都只参加一个课外小组，而且每个小组至多有一名学生参加，因此共有种不同方法．　　点评  由于要让3名学生逐个选择课外小组，故两问都用乘法原理进行计算．    例2排成一行，其中不排第一，不排第二，不排第三，不排第四的不同排法共有多少种？　　解  依题意，符合要求的排法可分为

2、第一个排、、中的某一个，共3类，每一类中不同排法可采用画“树图”的方式逐一排出：　　　　∴符合题意的不同排法共有9种．　　点评  按照分“类”的思路，本题应用了加法原理．为把握不同排法的规律，“树图”是一种具有直观形象的有效做法，也是解决计数问题的一种数学模型．　　例３　判断下列问题是排列问题还是组合问题？并计算出结果．　　（1）高三年级学生会有11人：①每两人互通一封信，共通了多少封信？②每两人互握了一次手，共握了多少次手？　　（2）高二年级数学课外小组共10人：①从中选一名正组长和一名副组长，共有多少种不同的选法？②从中选2名参加省数学竞赛，有多少种不同的选法？　　（3）有2，3，5

3、，7，11，13，17，19八个质数：①从中任取两个数求它们的商可以有多少种不同的商？②从中任取两个求它的积，可以得到多少个不同的积？　　（4）有8盆花：①从中选出2盆分别给甲乙两人每人一盆，有多少种不同的选法？②从中选出2盆放在教室有多少种不同的选法？　　分析　（1）①由于每人互通一封信，甲给乙的信与乙给甲的信是不同的两封信，所以与顺序有关是排列；②由于每两人互握一次手，甲与乙握手，乙与甲握手是同一次握手，与顺序无关，所以是组合问题．其他类似分析．　　（1）①是排列问题，共用了封信；②是组合问题，共需握手（次）．　　（2）①是排列问题，共有（种）不同的选法；②是组合问题，共有种不同的选

4、法．　　（3）①是排列问题，共有种不同的商；②是组合问题，共有种不同的积．　　（4）①是排列问题，共有种不同的选法；②是组合问题，共有种不同的选法．　　例４　证明．　　证明　左式　　　　　　　　　　　　右式．　　　　　∴等式成立．　　点评　这是一个排列数等式的证明问题，选用阶乘之商的形式，并利用阶乘的性质，可使变形过程得以简化．　　例5　化简．　　解法一　原式　　解法二　原式　　点评  解法一选用了组合数公式的阶乘形式，并利用阶乘的性质；解法二选用了组合数的两个性质，都使变形过程得以简化．　　例6　解方程：（1）；（2）．　　解（1）原方程　　　　　　　　　　　　　　　解得．　　　　（2

5、）原方程可变为　　　　　∵，，　　　　　∴原方程可化为．　　　　　即，解得例1  5位高中毕业生，准备报考3所高等院校，每人报且只报一所，不同的报名方法共有多少种?解：  5个学生中每人都可以在3所高等院校中任选一所报名，因而每个学生都有3种不同的报名方法，根据乘法原理，得到不同报名方法总共有3×3×3×3×3=35(种)(二)排列、排列数公式说明  排列、排列数公式及解排列的应用题，在中学代数中较为独特，它研究的对象以及研究问题的方法都和前面掌握的知识不同，内容抽象，解题方法比较灵活，历届高考主要考查排列的应用题，都是选择题或填空题考查.例2  由数字1、2、3、4、5组成没有重复数字

6、的五位数，其中小于50000的偶数共有(    )A.60个        B.48个        C.36个        D.24个解  因为要求是偶数，个位数只能是2或4的排法有P12；小于50000的五位数，万位只能是1、3或2、4中剩下的一个的排法有P13;在首末两位数排定后，中间3个位数的排法有P33，得P13P33P12＝36(个)由此可知此题应选C.例3  将数字1、2、3、4填入标号为1、2、3、4的四个方格里，每格填一个数字，则每个方格的标号与所填的数字均不同的填法有多少种?解：  将数字1填入第2方格，则每个方格的标号与所填的数字均不相同的填法有3种，即2143，

7、3142，4123；同样将数字1填入第3方格，也对应着3种填法；将数字1填入第4方格，也对应3种填法，因此共有填法为3P13=9(种).例四　例五可能有问题，等思考例4  从4台甲型和5台乙型电视机中任意取出3台，其中至少有甲型与乙型电视机各1台，则不同的取法共有(    )A.140种      B.84种      C.70种       D.35种解：  抽出的3台电视机中甲型1台乙型2台的取法有C14·C25种；甲型2台乙型