热学第二章习题课

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1、第二章分子动理论的平衡态理论◆本章学习目标理解麦克斯韦速率分布函数和速率分布曲线的物理意义，掌握气体分子热运动的平均速率，方均根速率，最概然速率。理解等温大气压强公式、等温大气标高、能量均分定理、理想气体内能◆本章教学内容1、气体分子的速率分布律2、麦克斯韦速度分布律、相对最概然速率的速度分量分布于速率分布3、重力场中微粒按高度的分布，等温大气压强公式、等温大气标高4、能量按自由度均分定理，理想气体内能◆本章重点麦克斯韦速率分布律和速度分布律、三种速率分布、能量均分定理、理想气体内能 一、气体分子的速率分布律在平衡态下，气体分子速率的大小各不相同。由于分子的数目巨大，速率可以看作在

2、0～之间连续分布的。此时分子的速率分布函数应该这样来定义：假设系统的总分子数为，在速率v～v+dv之间的分子数为，则我们用来表示在速率v～v+dv之间的分子数占系统总分子数的比率；或者对于任意一个分子来说，这是它的速率处于v～v+dv之间的概率。由于和速率区间dv的大小成正比（即dv越大则dw越大），通常用来反映气体分子的速率分布，它与所取区间dv的大小无关而仅与速率v有关。我们把这个比值定义为平衡态下的速率分布函数　　  速率分布函数的物理意义是：在速率v附近，单位速率区间内的分子数占系统总分子数的比率；或者说，对于任意一个分子而言，它的速率刚好处于v值附近单位速率区间内的概率，

3、故也称为分子速率分布的概率密度。对于任意一个分子来说，它的速率是多大是偶然的，但却具有一定的概率分布。只要给出了速率分布函数，整个分子的速率分布就完全确定了。由速率分布函数可求出：v～v+dv区间的分子数　　 v～v+dv区间的分子数在总数中占的比率，即一个分子的速率在v～v+dv区间的概率　　在分布函数的曲线上，它表示曲线下一个微元矩形的面积。～区间的分子数可以用积分表示为　　～区间的分子数在总数中占的比例，即一个分子的速率在～区间的概率　　在分布曲线上，它表示在～区间曲线下的面积。令，则即为全部分子数N，故有　　        此式称为速率分布函数的归一化条件，表示所有分子与分

4、子总数的比率为1，即一个分子速率在0～区间的概率为1。在分布曲线上，它表示在~区间曲线下的面积为1。（2）统计平均速率下面讨论如何用统计分布函数来求统计平均值。一般来说，假定某量有个测量值，测量结果为的有个，为的有个，…为的有个，按照求平均值的方法，该量测量的平均值应该是　　其中这种形式意味着只要把各种测量值全部加起来，再除了测量总次数，就可得；而这种形式意味着，每一种测量值先乘以它出现的概率，然后再把每一种测量值与它对应的概率的乘积加起来得到，虽然两种方法计算的结果肯定是一样的，但作为方法本身来说，还是有区别的。同理，该量测量的方均值（先平方后再求平均值）应该是　　     实际

5、上只要把上面的式中的用来代替就达到上式。对于总分子数很大的平衡态气体，由于分子速率在之间的分子数有个，这个分子的速率严格来说肯定是不相同的，但差别极其微小，因此可以近似认为这个分子速率都是等于的。所以这个分子的速率加起来等于，全部气体分子的速率加起来等于，故分子的平均速率式中这种形式，意味着把每个分子的速率全部加起来，然后再除以总分子数就是；而这种形式则意味着先计算速率与速率在区间的概率的乘积，然后再全部将它们相加得出。同理，方均速率只要将上式中的用代替即可很方便地写出　　  若进一步要求方均根速率只要将开方即可：　　      从上述三式可以清楚地看出，为了计算，或，实际上只要给

6、定速率分布函数就可以了，可见速率分布函数的重要性。还有一个常用的速率，也是与速率分布函数直接有关的，这就是最概然速率。它的定义是，速率分布函数（）曲线峰值所对应的速率。其物理意义是，在附近单位速率区间内的分子数占系统总分子数的比率最大；或者说，对于一个分子而言，它的速率刚好处于附近单位速率区间内的概率最大。根据求极值的方法，令　　                       即可求出。最概然速率、平均速率和方均根速率统称为速率分布的特征速率。【例1】一由N个粒子组成的系统，平衡态下粒子的速率分布曲线如下图所示。试求：（1）速率分布函数；（2）速率在0～v0/2范围内的粒子数；（3）

7、粒子的平均速率、方均根速率和最概然速率。【解】（1）按上图所示的速率分布曲线形状，应有　　k为0～v0之间直线段的斜率。由速率分布函数的归一化条件，可得　　　　故速率分布函数为　　（2）速率在范围内的分子数为：　（3）由和，可得粒子的平均速率　　方均速率　　故方均根速率　　最概然速率是具有最大值，即速率分布曲线峰值所对应的速率。由图中的速率分布曲线，可得　　二、麦克斯韦速率分布律理想气体在平衡态下，分子的速率分布函数为　　这个函数表达的速率分布规律叫做麦克斯韦速率分布