2012届高考数学理二轮专题限时规范训练：过关检测4立体几何

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1、过关检测(四)　立体几何(时间：90分钟　满分：120分)一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知p：直线a与平面α内无数条直线垂直，q：直线a与平面α垂直，则p是q的(　　)．A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析　p推不出q，因为当直线a与平面α内无数条相互平行的直线垂直时，a不一定垂直于平面α(可以与平面α斜交)，而q可以推得出p，由线面垂直的定义可知，直线a与平面α垂直，则直线a与平面α内任意一条直线垂直，即a与平面α内无数条直线垂直．答案　B2．如图，在下列四个

2、正方体中，能得出AB⊥CD的是(　　)．答案　A3．如图，某几何体的正(主)视图与侧(左)视图都是边长为1的正方形，且它的体积为，则该几何体的俯视图可以是(　　)．解析　选项A对应的几何体为正方体，其体积为1；选项B对应的几何体为圆柱体，其体积为；选项D对应的几何体为圆柱体，其体积为；选项C对应的几何体为三棱柱，体积为.答案　C4．(2011·金华模拟)有两条不同的直线m，n与两个不同的平面α，β，下列命题正确的是(　　)．A．m∥α，n∥β，且α∥β，则m∥nB．m⊥α，n⊥β，且α⊥β，则m∥nC．m∥α，n⊥β，且α⊥β，则m∥nD．m⊥α，n∥β，且α∥β，则m⊥n解析　

3、A中，除m∥n外，还有相交、异面，A不正确；B中，只含m⊥n，B不正确；C中除m∥n外，还有相交或异面，C不正确；故选D.答案　D5．如图，已知正方体ABCDA1B1C1D1，E、F分别是平面A1B1C1D1和ADD1A1的中心，则EF和CD所成的角是(　　)．A．60°B．45°C．30°D．90°解析　连接B1D1，AB1，则由题意知，A1C1∩B1D1＝E，因为E，F分别为B1D1，AD1中点．∴EF∥AB1.又CD∥AB，∴∠B1AB为异面直线EF和CD所成角，在Rt△ABB1中，∠B1AB＝45°.答案　B6．设A，B，C，D是空间不共面的四点，且满足A·A＝0，A·A

4、＝0，A·A＝0，则△BCD是(　　)．A．钝角三角形B．锐角三角形C．直角三角形D．不确定解析　如图，依题意AB⊥AC，AB⊥AD，AC⊥AD，知AB⊥CD，AC⊥BD，AD⊥BC.设点A在底面BCD内的射影为O，则BH⊥CD，DG⊥BC，即点O为△BCD的垂心，故△BCD为锐角三角形．答案　B7．在正方形ABCD中，沿对角线AC将正方形ABCD折成一个直二面角BACD，则AB与平面BCD所成角的正弦值为(　　)．A.　　　　　　B.C.　　　　　　D.解析　设AC中点为O，连结BO，DO，则∠BOD是二面角BACD的平面角，设正方形的边长为2，则BO＝DO＝，BD＝2，则VB

5、ACD＝××2×2×＝，设A到平面BCD的距离为d，则＝××22·d，d＝，设AB与平面BCD所成的角为θ，则sinθ＝＝，故选A.(也可用空间向量来解)答案　A8．如图，已知六棱锥PABCDEF的底面是正六边形，PA⊥平面ABC，PA＝2AB，则下列结论正确的是(　　)．A．PB⊥ADB．平面PAB⊥平面PBCC．直线BC∥平面PAED．直线PD与平面ABC所成的角为45°解析　由题意知，BD⊥AB，BD⊥PA，又AB∩PA＝A，∴BD⊥面PAB.∴BD⊥PB，面PBD⊥面PAB.故A，B均不对．又BC∥AD，∴BC∥面PAD，C也不正确．∵PA＝2AB＝AD，而PA⊥AD，∴

6、∠PDA＝45°，即PD与平面ABC所成的角为45°.答案　D9．在三棱锥PABC中，PA⊥平面ABC，∠BAC＝90°，D、E、F分别是棱AB、BC、CP的中点，AB＝AC＝1，PA＝2，则直线PA与平面DEF所成角正弦值为(　　)．A.B.C.D.解析　以A为原点，AB、AC、AP所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示空间直角坐标系，由AB＝AC＝1，PA＝2，得A(0,0,0)，B(1,0,0)，C(0,1,0)，P(0,0,2)，D，E，F，∴＝(0,0，2)，＝，＝，设平面DEF的法向量为n＝(x，y，z)，则由得取z＝1，则n＝(2,0,1)，设PA与平面DEF所

7、成角为θ，则sinθ＝＝，∴PA与平面DEF所成角的正弦值为，故选C.答案　C10．如图，直四棱柱ABCDA1B1C1D1的高为3，底面是边长为4且∠DAB＝60°的菱形，AC∩BD＝O，A1C1∩B1D1＝O1，则二面角O1BCD的大小为(　　)．A．60°B．90°C．120°D．150°解析　如图，过O作OF⊥BC交BC于F，连接O1F，∵OO1⊥平面AC，∴BC⊥O1F，OF⊥BC，OO1⊥BC，OO1∩OF＝O，∴BC⊥平面O1OF，又O1F⊂平面O1OF.∴∠O1FO