复变函数与积分变换模拟题(开卷)

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1、中国地质大学（北京）继续教育学院2014年09课程考试《复变函数与积分变换》模拟题（补）一．判断题1．函数若在某点可导一定在该点解析。（×）2.若函数f(z)在区域D内解析，则f(z)在区域D内沿任意一条闭曲线C的积分为0。（×）3.的一阶极点。（×）4.不同的函数经拉普拉斯变换后的像函数可能相同。（∨）5．函数在某区域内的解析性与可导性等价。（∨）6．若函数f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在区域D内解析当且仅当连续且满足柯西-黎曼方程。（×）7．的本性奇点。（×）8．若的共轭调和函数，那么的共轭调和函数。（×）二．填空题1．=1。

2、2．设求的虚部=。3．=。4．的孤立奇点的类型为极点（可去奇点、极点、本性奇点）。5．L[t2+3t+2]=。6.=1。7.的收敛半径为∞。8．函数的解析区域为。9．的孤立奇点的类型为本性奇点（可去奇点、极点、本性奇点）。10.设C为正向圆周

3、z

4、=1,则=0。第5页（共5页）中国地质大学（北京）继续教育学院2014年09课程考试三．计算题1.分别给出的三角形式的指数形式.解：，,因此三角形式为指数形式为2.判断下列函数在何处可导，何处解析？1）；2）解：1）四个偏导函数均连续，但柯西黎曼方程仅在x=y处成立，故函数在x=y处可导，处处不

5、解析.(4分)2)显然四个偏导数处处连续且柯西-黎曼方程处处成立，所以函数处处可导，处处解析.3.设C为正向圆周

6、z

7、=3，计算积分I=。解：因为函数在内的奇点为：,首先由复合闭路定理有，由柯西积分公式有：第5页（共5页）中国地质大学（北京）继续教育学院2014年09课程考试所以本题也可按留数定理去做.4．求函数的傅里叶变换。解：F[f(t)]=.5．求下列各函数在孤立奇点处的留数。1)；2)在z=2处的留数；3)。解：1）0是的奇点，因为，故z=0为可去奇点，因此.2）z=2是的一阶极点，故.3）z=1是的本性奇点，因为在1<

8、z

9、<+

10、∞，第5页（共5页）中国地质大学（北京）继续教育学院2014年09课程考试故.6．求解微分方程解：设L[x(t)]=X(s)对方程两边实行拉普拉斯变换得到即所以，故.7．判断函数在何处可导，何处解析？解：四个偏导函数均连续，但要满足柯西黎曼方程需在处成立，故函数在处可导，处处不解析.8．已知，求以v(x,y)为虚部的解析函数f(z)且f(i)=-1。解：显然是调和函数.因f(z)解析，由柯西-黎曼条件，，由上面第一式得到：代入第二式得有，因此第5页（共5页）中国地质大学（北京）继续教育学院2014年09课程考试因第5页（共5页）