超越方程真的无解析解吗

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1、超越方程真的无解析解吗?（观点互通有无，欢迎交流）（P君，从未见过数学大海的内陆市民；M君，专业数学工作者,可以经常乘海轮一游之人；H君，有心天涯游却无缘一张船票，只好一叶扁舟漂游者。一天三人偶遇，便有以下对话。）H君：今有一事讲给二位，不知感兴趣否？P君M君：尽管讲来。H君：我可以给出超越方程之解析解。P君：是数学问题，我不感兴趣。M君：是特例还是一般情况？H君：当然是一般情况。M君：这不可能，因为这早已有定论。H君：假若人类在认识复数之前，有人问你X=-1有解吗？你该如何回答？M君：这倒也是，回答很可能是

2、没有解。H君：是否说无解已有定论？M君：有这种可能。H君：再问一个问题：在人类认识非欧几何之前，如果有人说存在内角和不等于180°的三角形，你会相信吗？M君：确实与前一个问题的情形类似。H君：当我们被局限在某一范围时，是很难想象更广范围的事情。在历史发展的任一阶段，对于尚未认识的更广范围，我们总是处于一个相对的局限范围内。因而某一阶段的定论只具有相对性，即定论只在一定条件下成立，不是这样吗？M君：你且细细讲来。H君：先从aX²+bX+c=0这一方程谈起。我想让每一位稍有数学知识的人都能听懂。P君：这不是什么高

3、深的东西，这样的方程连我都会解，x=(-b±√b²-4ac)/2a(1)如果考数学只考这么简单的问题，说不定我在咱们三人中还有机会得第一呢。M君：有这个可能，不过还是听H君下文如何。H君：多项式代数方程，即形如a0+a1x+a2x²+…+anx=0(2)之方程无公式解，或称无解析解。P君：这个我是今天才知道。不过有无公式或解析解又有何关系呢？难道比明天的股市行情重要，比明天的世界杯比赛结果重要？M君：准确的说法是我们无法找到由a0,a1,a2,…,an这些系数及一些常数与＋﹑－﹑×﹑÷﹑**﹑√¯及㏒（加﹑减

4、﹑乘﹑除﹑乘方﹑开方及对数运算）组成的有限表达式的解。H君：解方程说得通俗一点就是将X单独放在等式的一边，而将所有已知的东西搬运到等式的另一边。这搬运当然是在一定规则下进行的。就解方程而言，数学家就是符号搬运工。M君：历史上求解三﹑四次方程时，这搬运工作将数学前辈们累得够呛。不管怎样，总算大功告成。但当着手求解五次方程时，这符号搬来搬去，怎么也不成功。H君：解不出五次以上方程确实让人感到心有不甘。人类智力在抽象世界的挑战面前是那样软弱无力，束手无策。P君：他们实在是没事找事，要是我才不去将符号搬来搬去折磨自己

5、。M15君：好在阿贝耳老前辈多了个心眼，他觉察到五次以上方程原本无根式解，群论创立后，他从理论上严格证明了他的猜测。这个问题早已告一段落。H君：这确实苦了那些数学前辈，原本无根式解，害得他们去找，你说上帝是否在作弄人?M君：这可冤枉了上帝。科学上常有这种事,有时在问题的提法还不明确或存在性问题都未搞清时就着手进行研究，往往会走弯路。H君：这多项式代数方程无根式解，一般超越方程亦无解析解。后来接触到微分方程时，给不出解析解或显式解的方程更是信手拈来。M君：确实如此。你若感到难以接受可以理解，我第一次明确意识到这

6、一点时也有同样感觉，只不过很快就过去了。P君：你们扯得太远，我不听了。H君：这样吧，我们先把问题局限在代数方程的范围内，免得P君抗议。M君：我同意。H君：你说五次以上方程无公式解，那么是谁将运算局限在+﹑-﹑×﹑÷﹑**﹑√¯及㏒这几种运算之内呢？即是说不存在根式解，完全有可能存在其他形式的解析解（五次代数方程有椭圆函数解）。我当时对这一问题闪出过一个念头，即运算扩充（即定义出更多的新的运算）以后必定可以给出一般代数方程的解析解。M君：你得确实给出才是。H君：听我慢慢道来，你们得有些耐心。P君：尽量简单，否则

7、我是不会听的。H君：在谈这一问题之前，我想先谈另一个问题，即方程解的存在与数的范围的扩充的关系。M君：这是大家都熟知的。P君：可我还是不明白。H君：我看还是照顾一下P君。你知道，x＋2=0,这个方程无正整数解。若要让这个方程有解，就须将数的范围扩充到负整数。可得x=-2。P君：这很简单，谁都知道。H君：很多东西看起来简单，但在数学历史的发展进程中要让人接纳它却是非常困难的。你说负数很简单，可先贤牛顿却接受不了它。他老人家画数轴时大笔向右一挥，原点左边的负数统统不存在。P君：你在糊弄老百姓，反正我不懂数学，随你

8、怎么讲。好在我相信不相信并不重要。M君：我可以作证，H君说的是实话。P君：那就将就着相信吧。H君：有了负数，数的范围还可扩充向有理数，即分数。2X=3在整数范围内是无解的，要使它有解，须将数的范围扩充至有理数，可得x=2/3。P君：这个我知道，至少到目前为止，你讲的我都能听明白。数学若只此简单明白就好了，不至于让少数人独享。像我这样的人周末又多一项娱乐：数学王国快乐游。M君：你不肯动脑筋还想享受数学