《实变函数》综合训练题(二)及解答new

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1、《实变函数》综合训练题（二）（含解答）一、选择题（单选题）1、下列集合关系成立的是（A）（A）（B）（C）（D）2、若是闭集，则（B）（A）的内部（B）（C）（D）3、设是有理数集，则（C）（A）（B）是闭集（C）（D）是不可数集4、设为上的连续函数，为任意实数，则（D）（A）是开集（B）是开集（C）是闭集（D）是开集5、设是中的可测集，，都是上的可测函数，若，则（A）（A）于（B）在上，（C）在上，（D）在上，二、多项选择题（每题至少有两个或两个以上的正确答案）1、设是中的有理点全体，则（C、D）（A）是闭集（B）中的每一点都是内

2、点（C）是可数集（D）2、若的外测度为零，则（B、D）（A）一定是可数集（B）一定是可测集（C）不一定是可数集（D）3、设，函数列为上几乎处处有限的可测函数列，为上几乎处处有限的可测函数，若，则下列哪些结论不一定成立（A、B、C、D）（A）存在（B）在上可积（C）（D）4、若在可测集上有积分值，则（A、C）（A）和中至少有一个在上可积（B）和都在上可积（C）在上也有积分值（D）在上一定可积5、设是的绝对连续函数，则（A、B、C）（A）是上的连续函数（B）是上的一致连续函数（C）是上的有界变差函数（D）在上处处可导三、填空题（将正确的

3、答案填在横线上）1、设，是两个集合，则2、设，如果满足，则是开集。3、设为直线上的开集，若开区间满足和，则必为的构成区间。4、设是偶数集，则则的基数（其中表示可数基数）。5、设，为可数集，且，则。6、设是可测集上的可测函数，则对任意实数，（），都有是可测集。7、若是可数集，则。8、设函数列为可测集上的可测函数列，是上的可测函数，如果，则不一定成立。9、设是上的非负可测函数，则在上的积分的值一定存在。10、若是上的有界变差函数，则必可表示成两个递增函数的差（或递减函数的差）。四、判断题（正确的打“√”，错误的打“×”）1、可列（数）个

4、开集的交集仍为开集。（×）2、任何无限集均都是可数集。（×）3、设是可测集，则一定存在型集，使得，且。（√）4、设是可测集，则是上的可测函数对任意实数，都有是可测集。（√）5、设是可测集上的可测函数，则一定存在。（×）五、简答题1、简述无穷多个闭集的并集是否必为闭集？答：不一定为闭集。例如取上一列闭集为，而是开集，不是闭集。2、可测集上的可测函数与连续函数有何关系？答：①连续函数是可测函数；②可测函数不一定连续；③可测函数在上是“基本上”连续的。3、上的绝对连续函数与有界变差函数有何关系？答：①绝对连续函数是有界变差函数；②有界变差

5、函数不一定是绝对连续函数。六、计算题1、设，其中是康托集，求。解：因为，所以于，于是再由积分与积分的关系得。2、设，，求。解：因为，而所以，由控制收敛定理七、证明题1、证明集合等式：证明：（方法1）对任意，有且，即且，所以且，即。反之，对任意，有且，即且，，所以且，即，综上所述，。（方法2）。2、设，且，则是可测集。证明：对任意，显然又（因为），从而所以（因为）所以，即是可测集。3、证明：上的单调函数必为上的可测函数。证明：不妨设是单调递增函数，对于任意实数，记，由于是单调递增函数，，显然是可测集。所以必为上的可测函数。4、设是可测

6、集上的可测函数，则在上可积在上可积。证明：必要性：因为在上可积，则和而，所以，即在上可积。充分性：因为，且，则，。所以在上可积。5、设{}可测集上的非负可测函数列，且（），存在使得，记，则在上勒贝格可积，且。证明：不妨设，由题设注意到单调递减可得，且在上恒有，于是，由勒贝格控制收敛定理得，在上勒贝格可积，且。6、设，为上几乎处处有界的可测函数列，证明：在上的充要条件是。证明：先证。事实上，由对任意，再结合依测度收敛的定义即可得上面的结论。下面证明本题的结论。必要性：因可得，于是，，当时，有因此，当时，并注意到和可得所以。充分性：对任

7、意，由可得，从而。