欢迎来到天天文库
浏览记录
ID:14509204
大小:570.50 KB
页数:6页
时间:2018-07-29
《《实变函数》综合训练题(二)及解答new》由会员上传分享,免费在线阅读,更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、《实变函数》综合训练题(二)(含解答)一、选择题(单选题)1、下列集合关系成立的是(A)(A)(B)(C)(D)2、若是闭集,则(B)(A)的内部(B)(C)(D)3、设是有理数集,则(C)(A)(B)是闭集(C)(D)是不可数集4、设为上的连续函数,为任意实数,则(D)(A)是开集(B)是开集(C)是闭集(D)是开集5、设是中的可测集,,都是上的可测函数,若,则(A)(A)于(B)在上,(C)在上,(D)在上,二、多项选择题(每题至少有两个或两个以上的正确答案)1、设是中的有理点全体,则(C、D)(A)是闭集(B)中的每一点都是内
2、点(C)是可数集(D)2、若的外测度为零,则(B、D)(A)一定是可数集(B)一定是可测集(C)不一定是可数集(D)3、设,函数列为上几乎处处有限的可测函数列,为上几乎处处有限的可测函数,若,则下列哪些结论不一定成立(A、B、C、D)(A)存在(B)在上可积(C)(D)4、若在可测集上有积分值,则(A、C)(A)和中至少有一个在上可积(B)和都在上可积(C)在上也有积分值(D)在上一定可积5、设是的绝对连续函数,则(A、B、C)(A)是上的连续函数(B)是上的一致连续函数(C)是上的有界变差函数(D)在上处处可导三、填空题(将正确的
3、答案填在横线上)1、设,是两个集合,则2、设,如果满足,则是开集。3、设为直线上的开集,若开区间满足和,则必为的构成区间。4、设是偶数集,则则的基数(其中表示可数基数)。5、设,为可数集,且,则。6、设是可测集上的可测函数,则对任意实数,(),都有是可测集。7、若是可数集,则。8、设函数列为可测集上的可测函数列,是上的可测函数,如果,则不一定成立。9、设是上的非负可测函数,则在上的积分的值一定存在。10、若是上的有界变差函数,则必可表示成两个递增函数的差(或递减函数的差)。四、判断题(正确的打“√”,错误的打“×”)1、可列(数)个
4、开集的交集仍为开集。(×)2、任何无限集均都是可数集。(×)3、设是可测集,则一定存在型集,使得,且。(√)4、设是可测集,则是上的可测函数对任意实数,都有是可测集。(√)5、设是可测集上的可测函数,则一定存在。(×)五、简答题1、简述无穷多个闭集的并集是否必为闭集?答:不一定为闭集。例如取上一列闭集为,而是开集,不是闭集。2、可测集上的可测函数与连续函数有何关系?答:①连续函数是可测函数;②可测函数不一定连续;③可测函数在上是“基本上”连续的。3、上的绝对连续函数与有界变差函数有何关系?答:①绝对连续函数是有界变差函数;②有界变差
5、函数不一定是绝对连续函数。六、计算题1、设,其中是康托集,求。解:因为,所以于,于是再由积分与积分的关系得。2、设,,求。解:因为,而所以,由控制收敛定理七、证明题1、证明集合等式:证明:(方法1)对任意,有且,即且,所以且,即。反之,对任意,有且,即且,,所以且,即,综上所述,。(方法2)。2、设,且,则是可测集。证明:对任意,显然又(因为),从而所以(因为)所以,即是可测集。3、证明:上的单调函数必为上的可测函数。证明:不妨设是单调递增函数,对于任意实数,记,由于是单调递增函数,,显然是可测集。所以必为上的可测函数。4、设是可测
6、集上的可测函数,则在上可积在上可积。证明:必要性:因为在上可积,则和而,所以,即在上可积。充分性:因为,且,则,。所以在上可积。5、设{}可测集上的非负可测函数列,且(),存在使得,记,则在上勒贝格可积,且。证明:不妨设,由题设注意到单调递减可得,且在上恒有,于是,由勒贝格控制收敛定理得,在上勒贝格可积,且。6、设,为上几乎处处有界的可测函数列,证明:在上的充要条件是。证明:先证。事实上,由对任意,再结合依测度收敛的定义即可得上面的结论。下面证明本题的结论。必要性:因可得,于是,,当时,有因此,当时,并注意到和可得所以。充分性:对任
7、意,由可得,从而。
此文档下载收益归作者所有