数学几何旋转综合题

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1、中考数学几何旋转综合题1.（2009年山东德州）23．(本题满分10分)已知正方形ABCD中，E为对角线BD上一点，过E点作EF⊥BD交BC于F，连接DF，G为DF中点，连接EG，CG．（1）求证：EG=CG；（2）将图①中△BEF绕B点逆时针旋转45º，如图②所示，取DF中点G，连接EG，CG．问（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．FBADCEG第23题图①（3）将图①中△BEF绕B点旋转任意角度，如图③所示，再连接相应的线段，问（1）中的结论是否仍然成立？通过观察你还能得出什么结论？（均不要求证明）FBADCEG第23

2、题图②FBACE第23题图③D解：（1）证明：在Rt△FCD中，∵G为DF的中点，∴CG=FD．…………1分同理，在Rt△DEF中，EG=FD．………………2分∴CG=EG．…………………3分（2）（1）中结论仍然成立，即EG=CG．…………………………4分证法一：连接AG，过G点作MN⊥AD于M，与EF的延长线交于N点．[来源:学#科#网Z#X#X#K]FBADCEGMNN图②（一）在△DAG与△DCG中，∵AD=CD，∠ADG=∠CDG，DG=DG，∴△DAG≌△DCG．∴AG=CG．………………………5分在△DMG与△FNG中，∵∠DGM=∠FGN，

3、FG=DG，∠MDG=∠NFG，∴△DMG≌△FNG．∴MG=NG在矩形AENM中，AM=EN．……………6分在Rt△AMG与Rt△ENG中，∵AM=EN，MG=NG，∴△AMG≌△ENG．∴AG=EG．FBADCEGM图②（二）∴EG=CG．……………………………8分证法二：延长CG至M,使MG=CG，连接MF，ME，EC，……………………4分在△DCG与△FMG中，∵FG=DG，∠MGF=∠CGD，MG=CG，∴△DCG≌△FMG．∴MF=CD，∠FMG＝∠DCG．∴MF∥CD∥AB．………………………5分∴．在Rt△MFE与Rt△CBE中，∵MF=C

4、B，EF=BE，∴△MFE≌△CBE．∴．…………………………………………………6分FBADCE图③G∴∠MEC＝∠MEF＋∠FEC＝∠CEB＋∠CEF＝90°．…………7分∴△MEC为直角三角形．∵MG=CG，∴EG=MC．∴．………………………………8分（3）（1）中的结论仍然成立，即EG=CG．其他的结论还有:EG⊥CG．……10分2.(2009山西)在△ABC中，AB＝BC＝2，∠ABC＝120°，将△ABC绕点B顺时针旋转角a(0°＜a＜90°)得△A1BC1，A1B交AC于点E，A1C1分别交AC，BC于D，F两点．(1)如图22－4(a)，观

5、察并猜想，在旋转过程中，线段EA1与FC是怎样的数量关系?并证明你的结论；图23－4(a)(2)如图23－4(b)，当a＝30°时，试判断四边形BC1DA的形状，并说明理由；图23－4(b)(3)在(2)的情况下，求ED的长．解(1)证明：∵AB＝BC，∴∠A＝∠C．由旋转可知，AB＝BC1，∠A＝∠C1，∠ABE＝∠C1BF．∴△ABE≌△C1BF．∴BE＝BF．又∵BA1＝BC，∴BA1－BE＝BC－BF，即EA1＝FC．(2)四边形BC1DA是菱形．证明：∵∠A1＝∠ABA1＝30°，∴A1C1∥AB，同理AC∥BC1．∴四边形BC1DA是平行四边形

6、．又∵AB＝BC1，∴四边形BC1DA是菱形．(3)如图23－4(c)，过点E作EG⊥AB于点G，则AG＝BG＝1．图23－4(c)在Rt△AEG中，由(2)知四边形BC1DA是菱形，∴AD＝AB＝2．如图23－5(a)，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，，D，E两点分别在AC，BC上，且DE∥AB，，将△CDE绕点C顺时针旋转，得到△CD′E′(如图23－5(b)，点D′，E′分别与点D，E对应)，点E′在AB上，D′E′与AC交于点M．图23－5(1)求∠ACE′的度数；(2)求证：四边形ABCD′是梯形；(3)求△AD′M的面积．分析注意旋转前后对

7、应元素的关系，以及图中隐含的45°、30°等特殊角，将△AD′M的面积转化为S△AD′E′－S△AME′，利用方程的思想求解．解(1)如图23－5(a)，∵∠BAC＝90°，AB＝AC，∴∠B＝∠ACB＝45°．∵DE∥AB，∴∠DEC＝∠DCE＝45°，∠EDC＝90°．∴CE＝CE′＝4．如图23－5(b)，在Rt△ACE′中，∠E′AC＝90°，，CE′＝4，∴∠ACE′＝30°．(2)如图23－5(b)，∵∠D′CE′＝∠ACB＝45°，∠ACE′＝30°，∴∠D′CA＝∠E′CB＝15°．又，∴△D′CA∽△E′CB．∴∠D′AC＝∠B＝45°．

8、∴∠ACB＝∠D′AC．∴AD′∥BC．∵∠B＝45°，∠D′CB