蒙特卡罗方法及其在中子输运问题中得应用

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1、蒙特卡罗方法及其在中子输运问题中得应用目录蒙特卡罗方法及其在中子输运问题中得应用11蒙特卡罗方法简介31.1蒙特卡罗方法的基本原理31.2蒙特卡罗方法的误差42随机变量的抽样方法42.1直接抽样方法42.1.1离散型随机变量的抽样42.1.2连续型随机变量的抽样42.2挑选抽样法52.3复合抽样法63蒙特卡罗方法模拟中子输运过程63.1源抽样63.2输运距离的抽样63.3碰撞核素的抽样值73.4反应类型的抽样值73.5反应后中子状态的确定73.5.1弹性散射73.5.2非弹性散射83.5.3裂变反应84蒙特卡罗方法的减方差技巧84.1权84.2统计估计法94.3权窗105

2、蒙特卡罗方法求解通量105.1通量的定义105.2点通量的计算115.3面通量的计算115.3.1统计估计法115.3.2加权法125.4体通量的计算125.4.1统计估计法125.4.2径迹长度法135.4.3碰撞密度法135.4.4几种体通量计算方法的比较145.5最终结果的统计146蒙特卡罗方法求解keff156.1有效增值因子keff的定义156.2蒙特卡罗方法求解keff156.2.1吸收估计法156.2.2碰撞估计法156.2.3径迹长度估计法161蒙特卡罗方法简介1.1蒙特卡罗方法的基本原理蒙特卡罗方法（MentoCarloMethod）也叫统计模拟方法，是

3、二十世纪四十年代由于计算机科学与技术发展和电子计算机的发明而提出来的一种基于概率论与数理统计的方法。蒙特卡罗方法广泛应用与金融工程、经济学、粒子输运模拟、热力学与统计物理学等领域。为了说明蒙特卡罗方法的基本原理，先看两个例子。例1用蒲丰方法求解π1977年，法国数学家蒲丰提出了一种计算圆周率的方法——随机投针法，及著名的蒲丰投针问题。这一方法如下：1）取一张白纸，在上面画两条间距为2a的平行线；2）取一根长度为2l（l

4、由此可以得到π的估计值例2求函数f(x)在[a,b]上的积分f(x)[a,b]上的积分值I就是曲线y=f(x)、y轴、x=a以及x=b所围成的面积。使用蒙特卡罗方法求解该问题的方法就是：如右图所示，随机在y轴、y=M、x=a以及x=b围成的矩形均匀投掷n个点，如果落在y=f(x)下面的有m个点，则曲线y=f(x)、y轴、x=a以及x=b所围成的面积S即积分值由上面的两个例子可以看出，蒙特卡罗方法以一个“概率模型”为基础，将所求解的问题抽象为一个随机过程，使用已知分布抽样的方法求得试验结果的观察值，从而求得问题的近似解。一、蒙特卡罗方法及其模拟粒子在物质中的输运过程蒙特卡罗

5、（MonteCarlo）方法又叫随机模拟法，是一种以概率论与数理统计为基础的方法。例用蒙特卡罗方法求解π如下图所示，半径为1的圆外有一外接矩形，则圆与矩形的面积比为π/4。我们向矩形内均匀地投掷N个点，记录落在圆内部的点数M，则有M/N≈π/4由此可以得到π≈4M/N由上例可以看出，蒙特卡罗方法即是根据所求的问题构造一个概率模型，使得所求问题的解等于该模型的某个变量，根据求解该变量而得到问题的解。1.2蒙特卡罗方法的误差加入进行了N次模拟（对于例1，即投递了N次针，对于例2，即投掷了N个点），这N次模拟的标准差为σ，蒙特卡罗方法的误差为2随机变量的抽样方法以下叙述中，f(

6、x)表示随机变量的概率密度函数，其分布函数为F(x)，ξ为[0,1)之间均匀分布的随机数，即ξ~U[0,1)。2.1直接抽样方法2.1.1离散型随机变量的抽样设离散型随机变量x的分布律如下：xx1x2x3…xnpkp1p2p3…pn则x的抽样值为xi，其中i满足下述不等式2.1.2连续型随机变量的抽样若F(x)的反函数F-1(x)存在，则随机变量x的抽样值为例如，如果x~U[a,b]，即x的分布函数为F(x)的反函数，所以x的抽样值为如果随机变量的概率分布函数的反函数不存在或很难求得，就应该采用其它的抽样方法。2.2挑选抽样法若分布密度函数f(x)可以分解为一个分布密度函

7、数f1(x)与一个有界函数h(x)的乘积，即f(x)=f1(x)h(x)记M=maxh(x)，则随机变量x可以采用如下抽样方法：1）从f1(x)抽样得到xf；2）判断Mξ≤h(xf)是否成立,若成立，则xf有效并作为x的抽样值，否则，回到1）直至满足2）为止。例标准正太分布的抽样标准正太分布的分布密度函数为令1)抽取随机数ξ1，由f1(x)抽样得到2)抽取随机数ξ2，若，则xf作为x的抽样值，否则回到1）。2.3复合抽样法3蒙特卡罗方法模拟中子输运过程一个中子的随机历史（中子历史是指中子从产生到消亡的过程）如上图所示。中子从源