第二章 线性模型及自相关与偏相关函数1

《第二章 线性模型及自相关与偏相关函数1》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在行业资料-天天文库。

1、第二章线性模型及自相关与偏相关函数§1．随机线性模型对于随机差分方程：（I）系数及两个多项式满足一定约束且是一白噪声，，当时，，则称是（I）之一个平稳解，我们将给予上述线性模型进行详细讨论.首先通过一、二个例子简单说明随机序列、随机模型与时间序列应用之间的关系.例1在某一专用计算机的固定程序中，包括如下的简单迭代计算（II）其中为固定常数由于计算机的字长有限，每次计算上式时都会有舍入误差.若以和分别表示计算机的计算值和真实值，则二者之差便是一个误差序列，我们现在来分析它的内在变化规律.设在计算时产生的舍入误差为，于

2、是计算值为（2）（3）经验表明，舍入误差近似为均匀分布的白噪声，其方差依计算机的字长而定.于是（3）式就是计算（1）式时，计算误差序列的所满足的随机模型的特殊情况.以后我们将主要讨论为正态分布的情况.（3）和普通差分方程，由于是随机序列，也是随机序列.随着初值不同而不同，于是序列也各次取不同值，但是它与相应的都满足（3）式.若用表示一步延迟算子，即（4）为输入为输出一级反馈系统为输入为输出，一级反馈系（数）统.例2空间飞行目标（如飞机、导弹或卫星）.在一空域飞行时，其加速度常常被视为随机过程，在离散采样时，就是随机

3、序列.比如在绪论的例2中我们曾把26看作满足第一章差分方程的平稳序列，并希望用时序分析方法估计的模型参数.但不能象例1那样用简单推导列出的模型.随机序列与随机模型的关系：①与例1类似，从实际背景出发，能够准确导出误差序列所满足的随机模型，即称之为能用物理方法列出的随机模型.②与例2类似，对于物理过程，并无物理方法能准确列出它的模型.事实上，我们说具有差分方程的模型，这只是一种近似地描述随机序列的手段，即用具有有理谱的平稳序列来近似描述.这时我们用的样本序列来估计模型（差分方程），这就要用到时序分析方法.（绪论中例1

4、~例4，大量事例）有理谱与随机模型（差分方程）关系一般归纳为三：一、具有有理谱的平稳序列必满足随机模型.二、随机模型（差分方程）的平稳解便于在最小（均方）差意义下进行最佳预报和控制设计.三、有理谱能较好地逼近各种连续谱密度.差分方程（随机线性模型）：（I）用表示步线性推移算子，即，为常数并令（II）于是（I）又可简写为：（III）把作为算子的多项式，通常假定它们之间无公共因子.为方便计：参量常用向量表示（IV）于是模型（I）和（III）中，用线性差分方程描述了和这两个序列不同时刻之间的线性关系，因而是一种线性时序模

5、型.但以后，我们总假定（I）式中为正态平稳白噪声，其方差，且假定（时刻的白噪声与时刻的不相关），与无公共因子.常假定26另外，（I）与（III）两种特殊情况：or（V）or（VI）（若，即，而且满足（I）式，则有，这就是随机序列的均值不为零时的模型，它不是我们讨论的主要对象.相关函数与的完全相同，只要讨论（I）模型就够了.)随机线性模型分类：（1）MovingAverageModels：若（VI）式中的系数多项式（可逆滑动平均模型）的根全在单位圆外，即其根的模都大于1，我们称（VI）为~.其解叫做可逆滑动平均序列.

6、简称为MA模型和MA序列.滑动平均阶数，和称为它们的参数.简记模型（序列），表示阶纯滑动平均的.（2）AutoregressiveModels：若（V）式的系数多项式的根全在单位圆外，即其根的模都大于1.我们称（V）式为平稳自回归模型，其平稳解叫做平稳自回归序列，分别简称为模型和序列.自回归阶数和称为它们的参数.记号模型（或序列），表示模型是阶纯自回归的.（3）模型（或序列）（平稳自回归-可逆滑动平均混和模型）若模型（I）或（III）式中的系数多项式和无公共因子，而且分别满足上面的平稳性条件和可逆性条件，我们就称这

7、一模型为~.其平稳解叫做自回归-可逆滑动平均混和序列，简称模型和序列.用表示其阶数，前者表示自回归的阶数，后者表示滑动平均的阶数，和为其参数，参数表示：记号模型（或序列）.由上述知识知道：随机模型平稳性和可逆性的定义为若给了一个随机模型（I）或（or（III）），①我们可以求出相应方程和的根，检验这些根是否全在单位圆外，以此来判定模型是否为平稳的和可逆的.②另外，亦可根据代数方程根和系数的关系，把平稳性和可逆性条件转化成关于参数的约束条件，这样便利，从而引出平稳域和可逆域两个概念：1．平稳域：设模型（I）式的自回归

8、阶数是，凡是使的根全在单位圆外的系数向量，构成一个维实向量空间的子集，记做，的根全在单位圆外}，称为模型的平稳域.26模型（I）为平稳.2．可逆域：设模型（I）式滑动平均阶数为，凡是使的根全在单位圆外的系数向量，构成一个维实向量空间的子集，记做的根全在单位圆外}，称为模型的可逆域，模型（I）式是可逆的几个例子例1和的模型的平稳域模型形式为.相应的代数方程为，