高一数学《平面向量》期末练习题及答案

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1、向量基底的选择李太新1.以共点向量为基底例1.在△ABC内求一点P，使的值最小。解：如图1：设，以为一组基底，有：故15所以，当时，的值最小，此时，，即P点为△ABC的重心，因此，当P为△ABC重心时，的值最小。2.以任一点为起点，相关顶点为终点的向量作基底例2.在四边形ABCD中，P、Q分别为对角线AC、BD的中点，E、G、F、H分别为边AD、AB、BC、CD的中点，求证：EF、GH、PQ的中点重合。证明：以平面上任一点O为始点，设，以为基底，有：设EF、GH、PQ的中点分别为，则15故重合，即EF、GH、PQ的中点重合。3.以共点的单位向量为基底例3.如图3，在△ABC内

2、任取一点O，△BOC、△AOC、△AOB的面积分别为，证明：。证明：设，以单位向量为基底，并设∠BOC＝α，∠AOC＝β，∠AOB＝γ，则有：所以，15同理：所以，在上取一点D，使，作DE∥OB交CO延长线于E，则∠DEO＝180°－α∠DOE＝180°－∠β，∠ODE＝180°－γ在△DOE中，由正弦定理，得：又所以15故因为即从而练习1.△ABC中，AB＝AC，D是AB中点，O是△ABC的外心，E是△ACD的重心。求证：OE⊥CD2.已知四边形ABCD，求证：AC⊥BD当且仅当。3.四边形ABCD的对角互补，AB、DC交于E，AD、BC交于F，EG平分∠AED交AD于G，

3、FH平分∠AFB交AB于H，求证：EG⊥FH。提示：1.可选择作为基底。2.在ABCD所在平面内任取点O，以为基底。3.以的单位向量为基底。选定向量基底，解决常见立体几何问题15利津二中陈富君魏静我们知道，空间向量的坐标运算成为解决立体几何的垂直与平行的证明、角与距离的求解等问题的一个十分有效的工具，用空间向量的方法处理立体几何问题,常常可以收到化繁为简,化难为易,也降低了同学们学习立体几何的思维难度.但是空间直角坐标坐标系的应用有着很大的局限性，取而代之，若以有着特殊关系的三个向量作为基底，通过向量运算将使更多的立体几何问题得到很好的解决.这类问题常以特殊四面体（或空间四边

4、形），平行六面体，特殊三棱柱等为载体.一、证明三点共线ABDCEFGH例1如图，在空间四边形ABCD中，E、F分别是AB、AD的中点，G、H分别在BC、CD上，且BG:GC＝DH:HC＝1:2.设EG和HF交于点P，求证P、A、C三点共线.解设，则∵，∴CC1BADB1A1D1MN∴且A为PA、AC公共点，故P、A、C三点共线二、证明直线平行平面向量平行平面ABC的充要条件是例2直四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，M、N分别是AB1与BC1上的点，且，求证MN∥平面ABCD.解设，则∥平面ABCD，而，故MN∥平面ABCD.三、证明直线垂直直线（或直线垂直平面）例3如图，在

5、四面体ABCD中，M是AB的中点，N是CD的中点，求证：MN是异面直线AB，CD的公垂线的充要条件是：AC＝BD，BC＝AD.15证明设NMABCD必要性若MN是异面直线AB，CD的公垂线，则∵，同样的可得，∴，因此，AC＝BD，同理BC＝AD.充分性由AC＝BD，得①由BC＝AD，得②①＋②得故MN⊥AM，同理MN⊥CN，即MN是异面直线AB，CD的公垂线.四、求异面直线的夹角例4在正四面体ABCD中，M、P分别为棱AD、CD的中点，N、Q分别是面BCD、面ABC的中心，求MN与PQ的夹角.解设正四面体的棱长为2，O为BC中点，，则ONMPQABCD，，∴，即

6、MN

7、＝

8、P

9、Q

10、＝1，15，因此，MN与PQ的夹角为空间向量的基底的应用恰恰是教学中的薄弱环节,如果不注意及时补上这一课,久而久之,应用向量的思维会钝化,甚至会缘木求鱼.平面向量一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。1、下列向量组中能作为表示它们所在平面内所有向量的基底的是（）A．B．C．D．2、若ABCD是正方形，E是CD的中点，且，，则=()A．B．　　Ｃ．Ｄ．3、若向量与不共线，，且，则向量与的夹角为（）A．B．C．D．04、设，是互相垂直的单位向量，向量，，,则实数m为（）A．-2B．2Ｃ．Ｄ．不存在5、在四边形ABCD中，，，，则四边形ABCD的形状是15（）A．

11、长方形B．平行四边形Ｃ．菱形Ｄ．梯形6、下列说法正确的个数为（）（1）；（2）；（3）（4）；（5）设为同一平面内三个向量，且为非零向量，不共线，则与垂直。A．2B.3C.4D.57、在边长为1的等边三角形ABC中，设，，，则的值为（A．B．Ｃ．0Ｄ．38、向量=（-1，1），且与+2方向相同，则的范围是（）A．（1，+∞）B．（-1，1）Ｃ．（-1，+∞）Ｄ．（-∞，1）9、在△OAB中，=（2cosα，2sinα），=（5cosβ，5sinβ），若=-5，则S△OAB=（）A．B．Ｃ．Ｄ．10、若非