数学提高班之——《高等数学》

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1、数学提高班之——《高等数学》第一章函数·极限·连续本章复习分四个部分：基本概念，基本理论，基本方法和综合提高。分两次课进行，每次课四个学时（约三个半小时），中间休息十五分钟。希望同学们认真听讲，做好笔记，并积极参与课堂讨论。主要参考书：陈文灯、黄先开编著的《2011考研数学复习指导》，世界图书出版社李恒沛主编的《2011考研数学新编考试参考书》，中国人民大学出版社同济大学应用数学系主编《高等数学》第六版，高等教育出版社一、基本概念（一）函数1、函数，反函数，复合函数2、基本初等函，初等函数，分段函数3、函数的四个基本性质：单调性、奇偶性、周期性、有界性考

2、研基本要求：①理解函数的概念，掌握函数的表示法.②了解函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性．③理解复合函数及分段函数的概念，了解反函数的概念．④掌握基本初等函数的性质及其图形，了解初等函数的概念.【例1】已知，求说明：当且仅当两个函数的定义域和对应法则完全相同时，这两个函数才表示同一个函数。因此，函数只与定义域和对应法则有关，而与用什么字母表示变量无关，即：【思考题1】解答下列各题：⑴，求-25-⑵设，求⑶设，其中，求⑷设，当时，，求⑸设，当满足条件时，该函数的反函数与该函数相等。⑹求函数。【例2】求下列函数的定义域：⑴；⑵，求的定义域说明：熟记下列常用

3、函数的定义域：①；②；③且；④；⑤；⑥【例3】判断下列函数的奇偶性：⑴；⑵，其中为奇函数；⑶，其中为奇函数说明：（1）判断奇偶性常用的方法是利用定义和性质判定。-25-（2）运算性质：①奇（偶）函数的代数和为奇（偶）函数；②偶数个奇（或偶）函数之积为偶函数，奇数个奇函数之积为奇函数；③奇偶之积为奇函数。（3）常见的偶函数有：等；常见的奇函数有：等。【思考题2】判断下列函数的奇偶性：⑴⑵⑶【例4】单调性判定⑴设在内有定义，。证明：①若单调下降，则；②若单调递增，则⑵设函数在上连续，且，令，证明：在上单调增加。说明：（1）单调性的判别有两种方法：一是单调性定

4、义，二是利用导数。（2）是判别为奇函数的有效方法。【思考题3】⑴设在上单调增加，在上单调递减，则（A）在上单调增加；（B）在上单调减少；（C）在上单调增加；（D）在上单调减少。-25-⑵设，在内单调增加，则（）也必单调增加。（A）；（B）；（C）；（D）【例5】判断下列函数的周期性：⑴；⑵；⑶；⑷。说明：（1）常见函数的周期：的周期为；的周期为。（2）判定给定函数是否为周期函数，有两种方法：一是定义；二是运算性质常用的性质有：①若为的周期，则的周期为；②若的周期分别为，则也是周期函数，其周期为的最小公倍数。（3）周期函数的定积分性质：①设是以为周期的连续

5、函数，则。②设是以为周期的连续函数，则【例6】函数在区间上为（）（A）有上界无下界；（B）有下界无上界；（C）有界且；（D）有界且说明：（1）函数是否有界是相对于某个区间而言的。常见六个有界函数是：-25-（2）无界函数与无穷大的关系：若为无穷大，则一定无界；若在某个区间上无界，则不一定是无穷大，例如：。【例7】解答下列各题：⑴设求：⑵设，求：⑶设求：说明：（1）常见的分段函数：①符号函数②取整函数；③狄利克莱函数（Dirichlet）(2)常用的恒等式：【思考题4】解答下列各题：⑴设函数，则是（）（A）偶函数；（B）无界函数；（C）周期函数；（D）单调

6、函数⑵①已知函数则②设求-25-⑶已知在上是奇函数，且当时，，则当时，。⑷设，则⑸设是以为周期的函数，且当时，，求（二）极限1、数列极限2、函数极限（1）函数当时的极限（2）函数当时的极限3、无穷小、无穷大、无穷小的比较考研基本要求：①理解极限的概念，理解函数左极限与右极限的概念以及函数极限存在与左、右极限之间的关系②理解无穷小量、无穷大量的概念，掌握无穷小量的比较方法【例8】（1999年数学二考题）“对任意给定的，总存在正整数，当时，恒有”是的（C）（A）充分但非必要条件；（B）必要但非充分条件；（C）充分必要条件；（D）既非充分又非必要条件。【例9】

7、设，则当时，为（D）（A）无穷大量；（B）无穷小量；（C）有界变量；（D）无界变量。【例10】设，当时，（D）（A）和是等价无穷小；（B）是比高阶的无穷小；（C）是比低阶的无穷小；（D）与是同阶，但不等价。-25-说明：常用的的等价形式：当时，【例11】当时，与是等价无穷小，则（A）（A）；（B）；（C）；（D）【思考题5】⑴若为任意给定的正数，则的充分必要条件为（C）（A）内含有的全部点；（B）内含有的无穷多个点；（C）之外至多含有的有限个点；（D）之外可能含有的无穷多个点。⑵当时，与等价的无穷小是（B）（A）；（B）；（C）；（D）⑶若时，与是等价无

8、穷小，求⑷设，则是（）（A）当时的无穷大量；（B）当时的无界变量；（C）当时的无