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1、直线与椭圆的位置关系练习1.椭圆上的点到焦点的距离为2，为的中点，则（为坐标原点）的值为（）A．4 B．2 C．8 D．解：如图所示，设椭圆的另一个焦点为，由椭圆第一定义得，所以，又因为为的中位线，所以，故答案为A．2.若直线与椭圆恒有公共点，求实数的取值范围解法一：由可得，即解法二：直线恒过一定点当时，椭圆焦点在轴上，短半轴长，要使直线与椭圆恒有交点则即当时，椭圆焦点在轴上，长半轴长可保证直线与椭圆恒有交点即综述：解法三：直线恒过一定点要使直线与椭圆恒有交点，即要保证定点在椭圆内部即3.已知椭圆及直线．（1）当为何值时
2、，直线与椭圆有公共点？（2）若直线被椭圆截得的弦长为，求直线的方程．3.解：（1）把直线方程代入椭圆方程得，即．，解得7（2）设直线与椭圆的两个交点的横坐标为，，由（1）得，．根据弦长公式得：．解得．方程为．4.已知椭圆的左右焦点分别为F1,F2，若过点P（0，-2）及F1的直线交椭圆于A,B两点，求⊿ABF2的面积解法一：由题可知：直线方程为由可得，解法二：到直线AB的距离由可得，又解法三：令则，其中到直线AB的距离由可得，5.已知中心在原点，长轴在x轴上的椭圆的两准线间的距离为2，若椭圆被直线x+y+1=0截得的弦的中点的横
3、坐标是，求椭圆的方程解法一：令椭圆方程为，由题得：，由可得，7又即椭圆方程为解法二：令椭圆方程为，由题得：，由作差得又即椭圆方程为6.已知长方形ABCD,AB=2,BC=1.以AB的中点为原点建立如图8所示的平面直角坐标系.(Ⅰ)求以A、B为焦点，且过C、D两点的椭圆的标准方程;OABCD图8(Ⅱ)过点P(0,2)的直线交(Ⅰ)中椭圆于M,N两点,是否存在直线,使得以弦MN为直径的圆恰好过原点?若存在,求出直线的方程;若不存在,说明理由.[解析](Ⅰ)由题意可得点A,B,C的坐标分别为.设椭圆的标准方程是.椭圆的标准方程是(Ⅱ)
4、由题意直线的斜率存在,可设直线的方程为.设M,N两点的坐标分别为联立方程:消去整理得,有若以MN为直径的圆恰好过原点,则,所以,所以,,即7所以,即得所以直线的方程为,或.所以存在过P(0,2)的直线:使得以弦MN为直径的圆恰好过原点.7.已知椭圆的中心在坐标原点O，焦点在坐标轴上，直线y=x+1与椭圆交于P和Q，且OP⊥OQ，
5、PQ
6、=，求椭圆方程解设椭圆方程为mx2+ny2=1(m＞0,n＞0)，P(x1,y1),Q(x2,y2)由得(m+n)x2+2nx+n－1=0,Δ=4n2－4(m+n)(n－1)＞0,即m+n－mn＞
7、0,由OP⊥OQ,所以x1x2+y1y2=0,即2x1x2+(x1+x2)+1=0,∴+1=0,∴m+n=2①又22,将m+n=2,代入得m·n=②由①、②式得m=,n=或m=,n=故椭圆方程为+y2=1或x2+y2=17.椭圆＞＞与直线交于、两点，且，其中为坐标原点．（1）求的值；（2）若椭圆的离心率满足≤≤，求椭圆长轴的取值范围．（1）设，由OP⊥OQx1x2+y1y2=0又将，代入①化简得.(2)又由（1）知，∴长轴2a∈[].8.设直线过点P（0，3），和椭圆顺次交于A、B两点，若试求l的取值范围.解：当直线垂直于x轴时
8、，可求得;当与x轴不垂直时，设，直线的方程为：，代入椭圆方程，消去得7解之得因为椭圆关于y轴对称，点P在y轴上，所以只需考虑的情形.当时，，，所以＝＝＝.由，解得，所以，综上9.已知椭圆的一个焦点为F1(0,-2)，对应的准线方程为，且离心率e满足：成等差数列。（1）求椭圆方程；（2）是否存在直线l，使l与椭圆交于不同的两点M、N，且线段MN恰被直线平分，若存在，求出l的倾斜角的范围；若不存在，请说明理由。（1）解：依题意e，∴a＝3，c＝2，b＝1，又F1(0，－2)，对应的准线方程为∴椭圆中心在原点，所求方程为(2)假设存在
9、直线l，依题意l交椭圆所得弦MN被平分∴直线l的斜率存在。设直线l：y＝kx＋m由消去y，整理得(k2＋9)x2＋2kmx＋m2－9＝0∵l与椭圆交于不同的两点M、N，∴Δ＝4k2m2－4(k2＋9)(m2－9)＞0即m2－k2－9＜0①设M(x1,y1),N(x2,y2)②把②代入①式中得，∴k＞或k＜－∴直线l倾斜角10.已知椭圆，7（1）求过点且被平分的弦所在直线的方程；（2）求斜率为2的平行弦的中点轨迹方程；（3）过引椭圆的割线，求截得的弦的中点的轨迹方程；（4）椭圆上有两点、，为原点，且有直线、斜率满足，求线段中点的轨
10、迹方程．解：设弦两端点分别为，，线段的中点，则①－②得．由题意知，则上式两端同除以，有，将③④代入得．⑤（1）将，代入⑤，得，故所求直线方程为：．⑥将⑥代入椭圆方程得，符合题意，为所求．（2）将代入⑤得所求轨迹方程为：．（椭圆内部分）（3）将代入⑤得所求轨迹方程
