2018版高中数学人教版a版选修1-1学案：3.1.3 导数的几何意义

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1、2017-2018学年高中数学人教A版选修1-1教学案3.1.3　导数的几何意义[学习目标]　1.了解导函数的概念；了解导数与割线斜率之间的关系.2.理解曲线的切线的概念；理解导数的几何意义.3.会求曲线上某点处的切线方程，初步体会以直代曲的意义.知识点一　导数的几何意义函数y＝f(x)在点x＝x0处的导数的几何意义是曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的斜率.也就是说，曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的斜率是f′(x0).相应地，切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0).知识点二　函数的导函数当x＝x0时，f′(x0)是一个确定的数，则当x变化时，

2、f′(x)是x的一个函数，称f′(x)是f(x)的导函数(简称导数).f′(x)也记作y′，即f′(x)＝y′＝.　　　　　　　　　　　　　　　　　　　题型一　已知过曲线上一点求切线方程例1　若曲线y＝x3＋3ax在某点处的切线方程为y＝3x＋1，求a的值.解　∵y＝x3＋3ax.∴y′＝＝＝[3x2＋3xΔx＋(Δx)2＋3a]＝3x2＋3a.设曲线与直线相切的切点为P(x0，y0)，结合已知条件，得解得62017-2018学年高中数学人教A版选修1-1教学案∴a＝1－.反思与感悟　一般地，设曲线C是函数y＝f(x)的图象，P(x0，y0)是曲线C上的定点，由导数的几何意义知k＝＝，继而由

3、点与斜率可得点斜式方程，化简得切线方程.跟踪训练1　求过曲线y＝在点处的切线方程.解　因为＝＝＝－.所以这条曲线在点处的切线斜率为－，由直线的点斜式方程可得切线方程为y－＝－(x－2)，即x＋4y－4＝0.题型二　求过曲线外一点的切线方程例2　已知曲线y＝2x2－7，求曲线过点P(3,9)的切线方程.解　y′＝＝＝(4x＋2Δx)＝4x.由于点P(3,9)不在曲线上.设所求切线的切点为A(x0，y0)，则切线的斜率k＝4x0，故所求的切线方程为y－y0＝4x0(x－x0).将P(3,9)及y0＝2x－7代入上式，得9－(2x－7)＝4x0(3－x0).解得x0＝2或x0＝4，所以切点为(2,

4、1)或(4,25).从而所求切线方程为8x－y－15＝0或16x－y－39＝0.反思与感悟　若题中所给点(x0，y0)不在曲线上，首先应设出切点坐标，然后根据导数的几何意义列出等式，求出切点坐标，进而求出切线方程.跟踪训练2　求过点A(2,0)且与曲线y＝相切的直线方程.解　易知点(2,0)不在曲线上，故设切点为P(x0，y0)，由y′

5、x＝x0＝＝－，62017-2018学年高中数学人教A版选修1-1教学案得所求直线方程为y－y0＝－(x－x0).由点(2,0)在直线上，得xy0＝2－x0，再由P(x0，y0)在曲线上，得x0y0＝1，联立可解得x0＝1，y0＝1，所求直线方程为x＋y－2

6、＝0.题型三　求切点坐标例3　在曲线y＝x2上过哪一点的切线，(1)平行于直线y＝4x－5；(2)垂直于直线2x－6y＋5＝0；(3)与x轴成135°的倾斜角.解　f′(x)＝＝＝2x，设P(x0，y0)是满足条件的点.(1)因为切线与直线y＝4x－5平行，所以2x0＝4，x0＝2，y0＝4，即P(2,4)是满足条件的点.(2)因为切线与直线2x－6y＋5＝0垂直，所以2x0·＝－1，得x0＝－，y0＝，即P是满足条件的点.(3)因为切线与x轴成135°的倾斜角，所以其斜率为－1，即2x0＝－1，得x0＝－，y0＝，即P是满足条件的点.反思与感悟　解答此类题目时，所给的直线的倾斜角或斜率是解

7、题的关键，由这些信息得知函数在某点处的导数，进而可求此点的横坐标.解题时要注意解析几何知识的应用，如直线的倾斜角与斜率的关系，直线互相平行或垂直等.跟踪训练3　已知抛物线y＝2x2＋1，求(1)抛物线上哪一点的切线平行于直线4x－y－2＝0?(2)抛物线上哪一点的切线垂直于直线x＋8y－3＝0?解　设点的坐标为(x0，y0)，则Δy＝2(x0＋Δx)2＋1－2x－1＝4x0·Δx＋2(Δx)2.∴＝4x0＋2Δx.62017-2018学年高中数学人教A版选修1-1教学案当Δx无限趋近于零时，无限趋近于4x0.即f′(x0)＝4x0.(1)∵抛物线的切线平行于直线4x－y－2＝0，∴斜率为4，

8、即f′(x0)＝4x0＝4，得x0＝1，该点为(1,3).(2)∵抛物线的切线与直线x＋8y－3＝0垂直，∴斜率为8，即f′(x0)＝4x0＝8，得x0＝2，该点为(2,9).计算切线与坐标轴围成的图形的面积求关于曲线的切线与坐标轴围成的图形的面积问题常见的题型有三类：(1)曲线的一条切线与两坐标轴围成的图形的面积.此类问题比较简单，只要求出切线方程与两坐标轴的交点，即可计算.(2)求通过曲线外一点引曲线的两