华理高数全部复习资料之向量与空间解析几何

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1、第10章向量与空间解析几何内容提要(一)向量和空间直角坐标系1．概念（1）向量既有大小又有方向的量称为向量，常记为、、，或、。只有大小没有方向的量称为标量。（2）径向量给定坐标原点，设为空间中任意一点，则称向量为点相对于原点的径向量。任一向量都可以看作是空间中某一点相对于原点的径向量。（3）模向量的大小称为它的模，记作或。模为的向量称为零向量，记作。（4）单位向量模为的向量称为单位向量。与向量同方向的单位向量记为。（5）向量的坐标表示设向量的起点为坐标原点，则其终点的坐标称为向量的坐标，记作，向量的模为。设，为空间中两点，则以为起点，为终点的向量。（6）向量

2、的夹角，平行，垂直对任意两个非零向量和，称∠为向量和的夹角，并规定。向量和的夹角通常记为或。当或时，称与平行，也称与共线，记作；当时，称与垂直或正交，记作。（7）方向余弦设向量与空间直角坐标系的三个坐标轴正方向的夹角依次为，则、、称为向量的方向余弦，它们满足等式。2．向量的运算（1）加法把向量的起点移到向量的终点，则以向量的起点为起点，向量的终点为终点的向量称为向量和的和，记作。若，，则。（2）数乘实数与向量的乘积是一个向量，记作。加法与数乘有如下性质：（i）；（ii）；（iii）；（iv）；（v）；（vi）；（vii）。（3）点积（数量积、内积）向量和的点

3、积是一个数，记作，即。用坐标表示为。点积的性质：（i）；（ii）；（iii）；（iv）。（4）叉积（向量积、外积）向量和的叉积是一个向量，记作，它的模为，方向垂直于，，且使，，成右手系。用坐标表示为。叉积的性质：（i）；（ii）；（iii）；（iv）。（5）混合积：称为向量，，的混合积，其几何意义是以向量，，为相邻的三条棱的平行六面体的有向体积。用坐标表示为。混合积的性质：（i）；（ii）向量，，共面的充要条件是。（6）投影（i）已知空间一点以及一个有向轴，过点作轴的垂直平面，则平面与轴的交点称为点在轴上的投影。（ii）设向量的起点和终点在轴上的投影记为和，

4、则有向线段的值称为向量在轴上的投影，记作。向量在向量（）上的投影为。（二）平面与直线1．概念平面方程点法式方程，其中为平面上一定点,为平面的一个法向量。一般式方程，为平面的一个法向量。截距式方程，其中，，依次为平面在，，轴上的截距。三点式方程，平面过空间三点，，直线方程点向式（对称式）方程，其中为直线上一定点，为直线的一个方向向量。两点式方程，其中、为直线上两点。一般式方程。2．点、直线、平面之间的关系（1）两个平面之间的关系给定平面：，其法向量为；平面：，其法向量为。两平面相交不平行于；两平面垂直；两平面平行；两平面重合。平面和之间的夹角（）满足。（2）两

5、条直线之间的关系给定直线：，其方向向量为，为上一点；又直线：，其方向向量为，为上一点。两直线不共面；两直线不共面但相互垂直，但；两直线垂直相交，且；两直线平行，即；两直线重合；直线和之间的夹角（）满足。（3）平面与直线之间的关系给定平面：，直线：，其中为平面的法向量，为直线的方向向量。平面与直线相交；平面与直线垂直，即；平面与直线平行，即；直线在平面上，且，其中为直线上一定点。（三）曲面与曲线1．曲面（1）常见的二次曲面球面：椭球面：单叶双曲面：双叶双曲面：椭圆抛物面：（）双曲抛物面：（）二次锥面：（2）坐标面上的曲线绕坐标轴旋转的旋转曲面曲线绕轴旋转:；绕

6、轴旋转:；曲线绕轴旋转:；绕轴旋转:；曲线绕轴旋转:；绕轴旋转:。（3）柱面以曲线为准线、母线平行于轴的柱面方程为；以曲线为准线、母线平行于轴的柱面方程为；以曲线为准线、母线平行于轴的柱面方程为。2．空间曲线（1）一般式方程若两曲面与交成曲线，则可用表示，称为曲面的一般式方程。（2）参数方程曲线的参数方程为（3）投影曲线与投影柱面设空间曲线：，消去方程组的变量后得方程为，该方程表示一个以为准线，母线平行于轴的柱面，称为空间曲线关于面的投影柱面；投影柱面与面的交线：，称为空间曲线在面上的投影曲线。复习指导：复习要点本章公式较多，需要注意记住。并要注意：1.数量

7、与向量是两类不同的概念，不要将两个概念混淆。它们的运算不同之处如下：数量加法为代数运算，而向量加法不是代数运算，要按照平行四边形或三角形法则进行；数量有大小比较，如，而向量之间不能用“”或“”；数量乘法只有一种，其结果是一个数，而两向量的乘法运算有两种：数量积（结果是数）与向量积（其结果是向量）；数量乘法满足消去律、结合律，而两种向量乘法都没有消去律和结合律，并且向量积也不满足交换律。2．须熟悉平面与空间直线的各种方程及其相互转化的方法，解关于平面与直线的问题时要分析它们的位置特点，并根据法向量或方向向量位置特点建立方程，熟悉数量积或向量积等运算并用于解题。

8、3．对于形如这类的方程，在空间它表示平行于轴的一个柱