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1、物理与电子信息学院学年论文浅谈旋转曲面特日格乐（学号：20091101418）（物理与电子信息学院09级电子信息工程一班,内蒙古呼和浩特010022）指导教师:李新文摘要:本文是对旋转曲面的多方面分析，主要是解说旋转曲面的概念，以及旋转曲面的方程介绍和特殊的旋转曲面讲解，还有一些求旋转曲面的例题讲解。在我们日常生活中有许多的事物都反映出了曲面的性质，学习曲面就是在识别日常生活中的事物。本文能让我们对曲面有一种全新的认识。关键词:旋转；曲面；方程1引言1.1曲面的形成在日常生活中，我们经常会遇到各种曲面，例如反光镜的镜面、管道的外表面以及锥面等等。有许多事物因有多种曲
2、线组成的，则在日常生活中的事物才有了这形形色色的美与那独一无二的事物。曲面是一条动线，在给定的条件下，在空间连续运动的轨迹所示的曲面，是直线沿曲线，且平行于直线运动而形成的。产生曲线的动线（直线或曲线）称为母线；曲面上任一位置的母线称为素线，控制母线运动的线、面分别称为导线、导面。曲面是由曲线组成的，但曲面可以组成立体模型。1.2曲面的分类我们可以根据形成曲面的母线形状，则曲面可分为：直线面——由直母线运动而形成的曲面；曲线面——由曲母线运动而形成的曲面。还可以根据形成曲面的母线运动方式，则曲面可分为：回转面——由直母线或曲母线绕一固定轴线回转而形成的曲面；非回转面
3、——由直母线或曲母线依据固定的导线、导面移动而形成的曲面。1.3研究曲面研究曲面的两个基本问题：一个问题是已知一曲面作为点的几何轨迹时,建立这曲面的方程.另一个问题是已知坐标x、y和z间的一个方程时,研究这方程所表示的曲面的形状。7物理与电子信息学院学年论文2旋转曲面的有关概念2.1旋转曲面的定义在空间，一条曲线Γ绕着定直线l旋转一周所生成的曲面S称为旋转曲面（或回转曲面）Γ称为旋转曲面的母线l称为旋转曲面的旋转轴在yOz平面上有一曲线C,它的方程为f(y,z)=0.曲线C绕z轴旋转一周得到一个旋转曲面。设M(x,y,z)为曲面上任一点,它是曲线C上点M1(0,y1
4、，z1)绕z轴旋转而得到的。则有如下关系等式：F(y1,z1)=0,z=z,y1=从而得这就是所求旋转曲面的方程。图（一）2.2小结母线上任意一点绕旋转轴l旋转的轨迹是一个圆，称为旋转面的纬圆或纬线以旋转轴l为边界的半平面与旋转面的交线称为旋转面的经线。纬圆也可看作垂直于旋转轴l的平面与旋转面的交线，任一经线都可以作为母线，但母线不一定是经线。3旋转曲面的方程（直角坐标系）3.1旋转曲面的一般方程设旋转曲面的母线为G：旋转轴为直线L:(x-x0)/X=(y-y0)/Y=(z-z0)/Z7物理与电子信息学院学年论文其中P0(x0,y0,z0)为轴l上的一个定点，X,Y
5、,Z为旋转轴l的方向数。设M1(x1,y1,z1)是母线G上的任意一点，则过M1的纬圆可以看成是过M1且垂直于旋转轴l的平面与以P0(x0,y0,z0)为中心,
6、P0M1
7、为半径的球面的交线。所以过M1(x1,y1,z1)的纬圆的方程为：当点M1遍及整个母线G时，就得出旋转曲面的所有纬圆，这些纬圆生成旋转曲面。又由于M1(x1,y1,z1)在母线G上,所以又有:从上述四式中消去参数x1,y1,z1,最后得一个三元方程故F(x,y,z)＝0为所求旋转曲面的方程。3.2注意（1）写出这母线上任意一点M(x1,y1,z1)的纬圆方程或母线族。（2）写出参数x1,y1,z1
8、的约束条件。（3）消去参数得到所求旋转曲面的方程（或柱面、锥面的方程）。3.3小结一般地，当坐标面上的曲线绕此坐标面里的一个坐标轴旋转时，为求得旋转曲面的方程，只需将曲线方程保留和旋转轴同名的坐标，以其余两坐标平方和的平方根代替方程中的另一个坐标。方程G(x,z)=0表示母线平行于y轴的柱面.方程H(y,z)=0表示母线平行于x轴的柱面。方程x-z=0表示母线平行于y轴的柱面,其准线是zOx面上的直线x-z=0。所以它是过y轴的平面。 4几种特殊的旋转曲面（直角坐标系）4.1特殊的旋转曲面内容当坐标平面上的曲线G绕此坐标平面里的一个坐标轴旋转时，为了求出旋转面的方程
9、，只要将曲线G在坐标平面里的方程保留和旋转轴同名的坐标，而以其他两个坐标平方和的平方根来代替方程中的另一坐标即可。7物理与电子信息学院学年论文例如G：绕y轴旋转所得旋转曲面的方程为：绕z轴旋转所得旋转曲面的方程为：4.2特殊的旋转曲面方程的介绍（1）单叶旋转双曲面（x2+y2）/a2-z2/c2=1图（二）（2）双叶旋转双曲面x2/a2-（z2+y2）/c2=1图（三）7物理与电子信息学院学年论文（3）旋转抛物面（x2+y2）/a2=z图（四）（4）环面绕z轴旋转。7物理与电子信息学院学年论文图（五）（5）旋转椭球面（x2+y2）/a2+z2/c2=1图（六）5
