资源描述：
《第4章贝塞尔函数_680709608》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在学术论文-天天文库。
1、第四章贝塞尔函数§4.1.贝塞尔方程4.1.1贝塞尔方程及其解4.1.2第一和第二类贝塞尔函数§4.2贝塞尔函数的基本性质4.2.1贝塞尔函数的递推公式4.2.2贝塞尔函数的渐近式4.2.3贝塞尔函数的零点4.2.4朗斯基行列式§4.3整数阶贝塞尔函数4.3.1奇偶性和特殊点的值4.3.2整数阶贝塞尔函数的母函数§4.5第三类贝塞尔函数和球贝塞尔函数4.5.1第三类贝塞尔函数4.5.2球贝塞尔函数§4.6虚变量(或变形)贝塞尔函数4.6.1第一和第二类变形的贝塞尔函数4.6.2整数阶变形贝塞尔函数§4.7宗量为实数的贝塞尔函数4.7.1贝塞尔方程的特征值问题4.7.2特
2、征函数族的性质习题附录4AΓ()z函数的导数与ψ()z函数第三章介绍了二阶常微分方程的复变函数的理论，给出了构造解的基本步骤.本章我们以贝塞尔函数为例，说明求解二阶线性常微分方程的步骤.对于其它二阶方程的求解，例如勒让德方程，厄米方程等等，都可以用类似的步骤求解.除4.7节外，用z表示自变量是复数.当自变量为实数时，我们会用x表示并进行说明.4.1.1贝塞尔方程及其解考虑贝塞尔方程222zwzw′′++−=′()zνw0(4.1.1)22其中ν是一个复参数，且Reν0≥.这个方程的特征值是ν，对应于ν应该有两个1线性无关的解.根据第三章3.6节的讨论，显然z=0是第一类
3、奇点，z=∞是第二类奇点.称(4.1.1)式为ν阶贝塞尔方程.现在来此方程在z=0附近解的表达式.将方程(4.1.1)与第三章的(3.6.45)，(3.6.52)，(3.6.54)三式对照，可知2ab==1,−ν，因此，关于z=0的判定方程，见(3.6.55)式，为0022P()λλν=−=0(4.1.2)ν解出两个根λνλν==,−.这里λλ,是方程(4.1.1)关于z=0的两个指数.1212今假定方程(4.1.1)有形如∞λkwz()=z∑czk，0
4、
5、<<∞z(4.1.3)k=0的解.这里λλ=或λ.为了确定(4.1.3)中的系数，将它代入(4.1.1).经过比较
6、系数，12得∞∞kk∑∑ckkkk(2)++λzcz−2=0kk==02此处我们记0(02)+=λc00(4.1.4)(12)+=λc01kk(2)++=≥λcc0,2k(4.1.5)kk−2我们先考虑λ≠1/2，也就是，ν≠±1/2(4.1.6)(ν=±1/2已被包含在以下情况B中.)由(4.1.4)，一定有c=0(4.1.7a)1然后从(4.1.5)是得到ccc====?0(4.1.7b)135又，c可以不为零.我们取0c=1(4.1.8)0当取λλν==时，(4.1.5)式写成1kk(2)++=≥νcc0,2kkk−2由此可见ck−2ck=−=0,≥0(4.1.9
7、)kkk(2)+ν2可令c2(1m−)c=1，cm=−=0,≥1(4.1.10)02m4(mm+ν)11c2cc=−,,=−=?2424(1)+++ννν8(2)42!(2)(1)+ν(4.1.11)m(1)−cm=−,1≥2mm4!m(1ν+)m其中(1ν+)是高斯符号，其定义见(3.3.16)式.代入(4.1.3)式，得到解的表达式m∞m(1)−ν+2mwzν()=∑mz，0
8、
9、<<∞z(4.1.12)m=04!m(1ν+)m为了求出与(4.1.13)线性无关的特解，我们进一步考虑λλν==−的情况.在2此，我们应回顾第三章3.6.2小节末尾的讨论.为此，分以下四种
10、情形讨论.(A)λλν−=2非整数12此时，由于当k是整数时，Pk()λ+≠0，从(4.1.7)至(4.1.12)的推导都仍然ν适用，只要将这些公式中的ν换成−ν，就得到另一个解∞m(1)−−+ν2mwz−ν()=∑mz，0
11、
12、<<∞z(4.1.13)m=04!m(1−+ν)m两个解w与w是线性无关的，因为它们的展开式是由z的不同幂次项开始的.−νν因此线性组合aw+aw只有当aa==0时才恒为零.1ν2−ν12(B)λλν−==+≥221nn,(0)，即ν是正的半整数12由(4.1.4)式⎧≠≠+0,2kn1kk(21−−=n)⎨(4.1.14)⎩==+0,2kn1于
13、是，当kn<+21时，由(4.1.9)kk(21−−+=n)cc0(4.1.15)kk−2解出ccc=====?c0(4.1.16)13521n−其次，当kn=+21时，由(4.1.9)，00cc+=.可取c=0.这样，2nn+−1212n+1ccc====?0(4.1.17)1353对于k是偶数的情况，(4.1.7)至(4.1.12)的推导都仍然适用.因此得到两个线性无关的解∞m(1)−nm++1/22wzn+1/2()=∑mz，0
14、
15、<<∞z(4.1.18a)m=04!mn(1++/21)m∞m(1)−−−+nm1/22wz−−n1/
