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1、物理学中的数学方法主要参考书目拜伦，富勒，《物理学中的数学方法》第一卷，熊家炯，曹小平译，科学出版社，1982年4月。拜伦，富勒，《物理学中的数学方法》第二卷，蔡纬译，科学出版社，1982年7月。目录三维向量空间回顾第一章变分法第二章希尔伯特空间第三章二阶线性常微分方程第四章贝塞尔函数第五章狄拉克δ函数第六章格林函数方法第七章范数与测度第八章积分方程第九章数论在物理逆问题中的应用。三维欧氏与四维闵氏空间§0.1欧氏空间回顾§0.2场论§0.3闵氏空间§0.1欧氏空间回顾以下主要介绍三维欧氏空间。其它维数的空间只是维数不同而已。欧氏空间中的任
2、何一点用向量(也称矢量)来描述。向量的几何定义与代数定义几何定义：有向线段代数定义：n维有序实数组(,,,)xxx?12n只有一个分量，则成为标量。标量是向量的一个特殊情况。向量由分量组成，反之，向量分解为分量，三维空间中，任何向量可以展开成任何三个非共面向量的线性组合：xVVV=++αβγ123这样的分解不是唯一的。向量的运算标量积—由两个向量构造一个标量的运算规则。几何定义：xyxy⋅=⋅cosθ其中θ是这两个有向线段之间的夹角(三维和二维空间)。⎛⎞⎛⎞代数定义：xy⋅=⎜⎟∑∑∑xiie⋅⎜⎟yxjje=ijijyxee⋅=∑∑ij
3、iyxδj=iiy⎝⎠iji⎝⎠,,jiji其中，点表示标量积，不能省略。标量积也称为向量的点积或点乘。如果向量积为零，则称这两个向量正交。从几何定义知，此时(三维和二维空间)这两个有向线段之间的夹角为直角。向量的转动坐标系的转动:正交变换考虑两组笛卡儿基()e,e,e和()e,e,e′′′，考虑将其中一组基用另一组基表示。123123eeeeii′′=⋅()jj=∑ai,jiej,(1=2,3)j由此可以得到变换矩阵⎛⎞aaa111213⎜⎟R=aaa⎜⎟212223⎜⎟aaa⎝⎠313233向量X在()e,e,e′′′这组基下的坐标为A
4、′′′′=(,,)xxx，则向量X在()e,e,e这组基123123123下的坐标A为AR=A′设基组中的分量之间是正交的，即有ee′′⋅=δijijee⋅=δijij根据正交性关系，得到矩阵元之间的关系δij=⋅=eei′′j∑∑∑aaakikee⋅=′jki()eek⋅=′jkiakjkkkδij=⋅=eeij∑∑aaikkee′⋅=jikajkkk上两式称为正交性关系。此时变换矩阵R是幺正的，其相应的变换称为正交变换。在n22维空间中，旋转矩阵R具有n个矩阵元。可以证明，其中由正交性关系提供()nn+/2222个条件。于是，在矩阵元中
5、有nnn−+=−()/2(nn)/2个是不确定的。在二维空间中，留下一个自由参数，可取为旋转角。在三维空间中，有三个自由度，对应于用来描写刚体取向的三个欧拉角。例，三维旋转矩阵。首先绕X3轴逆时针旋转ϕ弧度，得到新的基()e,e,e′′′，得到旋转矩阵为123⎛⎞cosϕϕsin0⎜⎟R=−sinϕϕcos01⎜⎟⎜⎟⎝⎠001然后绕X′2轴逆时针旋转θ弧度，得到基()e,e,e′′′′′′。这步旋转操作的矩阵为123⎛⎞cosθθ0−sin⎜⎟R=0102⎜⎟⎜⎟⎝⎠sinθθ0cos则两次旋转的总的旋转矩阵为⎛⎞coscosθϕcoss
6、inθϕ−sinθ⎜⎟RRR==−sinϕϕcos021⎜⎟⎜⎟⎝⎠sincosθϕsinsinθϕcosθ向量在原来的基下的坐标A与两次旋转得到的基下的坐标A′的关系为AR′=A定理标量积在正交变换下不变证明X′′⋅=YX∑∑xyi′′i=aaxyikilkl=∑∑δklxykl=xykk=⋅Yii,,klk,lk证明完毕。证明过程中利用了正交性关系。即使采用非正交基组，此定理仍然成立。向量积—由两个向量构造一个向量的运算规则。代数定义：zxy=×=∑∑∑∑xjej×yxkke=jykeej×=kxjykεεjkiie=ijkxjykie
7、jk,,,,jkjkjk其中，叉表示向量积，不能省略。向量积也称为向量的叉积或叉乘。eee123行列式表示：zxy=×=xxx=εxye123ijkjkiyyy123⎧1(1,2,3)的偶排列⎪ε=−⎨1(1,2,3)的奇排列ijk⎪⎩0其他几何意义：两个向量叉积的大小表示这两向量组成的平行四边形的面积。在三维和二维空间内，这个面积的数值为xy⋅sinθ，其中θ是这两个有向线段之间的夹角。显然，两个分量平行时，向量积为零。在n维空间中，两个向量x和y平行是指，一个向量恰好是另一个向量的倍数：x=ay。此时，称这两个向量线性相关。向量线性相关
8、的定义：一个向量可以用另外m个向量来表示，则称这m+1个向量线性相关。三维空间中行列式的几何意义CBA向量A、B和C确定的平行六面体的体积为：⎛⎞AAA123⎜⎟ABC⋅×=()
