第八节 弧长及扇形的面积

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1、弧长公式在半径为R的圆中，n°的圆心角所对的弧长的计算公式为l=nπR180.弧的长度由圆的半径R及其所对圆心角的度数n确定.求一段弧长则应根据条件确定R及n的值.扇形（1）扇形：由圆心角的两条半径和圆心角所对的弧围成的图形叫做扇形（如图20）.（2）扇形面积：如果扇形的半径为R，圆心角为n°，那么扇形面积的计算公式为S扇形=nπR2360.因扇形的弧长l=nπR180，扇形面积nπR2360可以写成12·nπR180·R，所以又得到扇形面积的另一个计算公式：S扇形=12lR.（3）扇形周长：扇形的周长等于弧长加上两半径的长，即l+2R.1.如何运用弧长公式？点拨：（

2、1）在弧长公式中，n表示“1°”的圆心角的倍数，在应用公式计算时，“180”不应再写单位.（2）题中若没有标明精确度，可以用“π”表示弧长，如弧长是π，5.1π等.（3）在弧长公式中，已知l，n，R中的任意两个量，都可以求出第三个量.2.如何运用扇形面积公式？点拨：（1）公式S扇形=nπR2360中的“n”与弧长公式中“n”的意义一样，表示“1°”的圆心角的倍数，参与计算时不带单位.（2）扇形的面积公式S扇形=12lR与三角形的面积公式S=12ah十分相似.为了便于记忆，可以把扇形看做曲边三角形，把弧长l看作底边，半径R看作底边上的高.（3）在求扇形的面积时，当已知半径

3、R和圆心角的度数求扇形的面积时，应选用公式S扇形=nπR2360；当已知半径R和弧长求扇形的面积时，应选用公式S扇形=12lR.3.如何求不规则图形的面积？点拨：求不规则图形的面积时，可通过割或补的方法把不规则图形转化为几个规则图形进行面积计算.如右图所示，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=60°，AC=3cm，将Rt△ABC绕点B旋转至Rt△A′BC′的位置，且使点A,B,C′三点在同一条直线上，则点A经过的最短路线的长度是cm.解：由Rt△ABC旋转的过程可知，点A经过的最短路线是以点B为圆心、以AB为半径、以150°为圆心角的AA′的长.由于AB=ACcos6

4、0°=23（cm），所以由弧长公式知：l=nπR180°=150°·π·23180°=533π(cm).1.已知圆的半径为18cm，求60°的圆心角所对弧的弧长.2.如右图所示，△ABC内接于⊙O，⊙O的半径R=3cm.若∠B=45°，求AC的长.3.右图为滑轮起重装置，已知滑轮的半径是10cm，当重物上升10cm时，滑轮的一条半径OA绕轴心O逆时针方向旋转的角度约为（假设绳索与滑轮之间没有滑动，结果精确到1°，π取3.14）.如右图所示，两个同心圆被两条半径截得的AB的长为5π，CD的长为7π，AC=4cm.求阴影部分的面积.【思路导析】阴影部分的面积等于两个扇形的面

5、积之差.解：设圆心角为n°，则l1=nπR1180，l2=nπR2180.S阴影=nπR21360-nπR22360=nπ360（R21-R22）=12（nπR1180+nπR2180）=12·nπ180（R1+R2）（R1-R2）=12（l1+l2）（R1-R2）=12（7π+5π）×4=24π（cm2）即S阴影=24πcm2.1.已知扇形的圆心角为120°，半径为2cm，求扇形的面积.2.已知扇形的圆心角为150°，弧长为20πcm，求扇形的面积.3.如右图所示，AB是⊙O的直径，长为4,弦CD∥AB且∠CAD=45°.求图中阴影部分的面积.4.如右图所示，⊙A,⊙

6、B,⊙C,⊙D,⊙E相互外离，它们的半径都是1，顺次连接五个圆心得到五边形ABCDE，则图中五个扇形(即阴影部分)的面积之和是()A.πB.1.5πC.2πD.2.5π水平放置的圆柱形排水管的截面半径是0.6m，其中水面高是0.3m.求截面上有水的弓形的面积(结果精确到1cm２).解：如右图所示，在⊙O中，连接OA，OB，过点O作OC⊥AB，垂足为点D，交AB于点C.∵OA=0.6m,DC=0.3m,∴OD=0.6-0.3=0.3(m),∠AOD=60°，AD=3310(m).∵S弓形ACB=S扇形OACB-S△OAB,S扇形OACB=120π360(0.6)２=0.1

7、2π(m２)，S△OAB=12AB·OD=1[]2×0.63×0.3=0.093(m２)，∴S弓形ACB=0.12π-0.093≈0.22(m２).答：截面上有水的弓形的面积约为0.22m２.1.已知弓形所对的圆心角为60°，弓形的弦长为6cm.求弓形的面积.2.如下图所示，AB是半圆O的直径，点C是半圆上的点，如果∠CAB=30°，BC=6，求图中阴影(即弓形)部分的面积.3.下图是一个水平放置的圆柱形水管的横截面.已知水面高CD=(2+2)cm,水面宽AB=22cm，求水管截面有水部分的面积.如右图所示，等腰直角三角形ABC的斜边AB