matrices and tensors in physics

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1、MatricesandTensorsinPhysics物理学中的矩阵和张量参考书目1.《MatricesandTensorsinPhysics》A.W.约什（印度）（山西人民出版社1986）2．《高等量子力学》喀兴林（高能教育出版社2000年）3．《群论及其在物理中的应用》马中骐等（北京理工大学出版社1988年）一．矩阵代数1．向量空间和变换2．矩阵代数3．本征值问题二．张量分析1．张量代数2．基本张量3．非相对论物理学中的张量4．张量计算一．矩阵代数1．向量空间和变换（1）群：一些数学对象（简称元素）构成的

2、集合中，各元素间能按照某一个确定的法则（简称“群乘法”）相结合，即满足下面四个条件，则此集合构成一个群。（i）封闭性：集合中任意两个元素的“乘积”（包括一个元素的自乘），仍得到集合中的另一个元素。（ii）结合律：（iii）集合中存在一个单位元（或称为恒等元，用表示）对于集合中任意一个元素有（i）集合中任意一个元素都有逆元的存在，若，则：性质：（i）有限群中任意一个元素，适当的幂次自乘可以得到单位元，则整数成为元素的阶，标记为给定的群乘法，如：，元素的阶是3例如：，构成而阶群（该群为反演群记为），群乘为：则：，

3、，，构成三阶群。该群可以表示为绕空间固定转动轴转动，，，群乘为：则：（i）任意群元的逆元素存在，并且逆元素的逆元素仍然是其自身（ii）群中两个元素的积的逆（i）单位元的逆仍为单位元（ii）Abel群（1）域域是一个元素的集合，这个集合具有两种二元合成的法则，（a）加法运算，（b）乘法运算，它要满足两个条件（）是个Abel群，在加法运算中单位元，用“0”表示（）Abel群的非零元素的集合中实施乘法运算时，存在一个单位元，用“1”表示例如：，是大于1的素数，这个集合有二元运算：加模运算：所得的余数乘模运算：所得的

4、余数这两种余数都在集合中。该域称为加罗华（Galois）域非Abel群：例如：正三角形的对称群，该群由下列操作构成，（1）恒等变换：（2）绕三角形中心逆时针转（D操作）；（F操作）（3）三角形分别对三条中线的反射变换A，B，C如图，在坐标上取、和三点。变换前正三角形、和分别和、和三点重合。经过变换，、和的位置发生了变化，它们分别与、和中的某一点重合，EDFABC由此得到群乘表EDFABCEEDFABCDDFECABFFEDBCAAABCEDFBBCAFEDCCABDFE例如：AD变换，先变到，然后变到，先变到

5、，然后变到，则变到，因此有AD=B正三角形的对称变换是二维空间特定的转动和反射变换，它们使二维空间的点，例如三角形顶点变成新的位置，这变换可以用2X2实正交矩阵来描写，，，，例如经过AD变换可以写成对于点的做AD变换，（1）向量空间集合称为域上的向量空间，他们满足下面两种条件：（）在定义一个加法，用表示，即是一个Abel群，单位元用“0”表示（）域中的数和集合的元素可以按照某种运算合成，这种运算叫做对于的给定元素的乘数，即，对于每一个和我们有向量空间的元素称为向量，这里需要注意的是“0”是F的一个元素，它同时

6、也表示L的零元。所谓线性向量空间也就是通常所说的向量空间。通常的三维空间是一个实数域上的向量空间，它表明，位置向量全体的集合，是一个Abel群。在三维空间中我们可以找到三个向量，但不能多于三个向量的集合，使集合中的向量线性无关，如，我们选定三个线性无关量：这个空间中任意其他向量都可以用这三个向量表示：空间中线性无关向量的最大数定义为空间的维。在n维空间中，这些n个线性无关的向量集合称为这个向量空间的“基”，显然，这个基的选择不是唯一的。线性相关和线性无关线性空间中的两个向量设是不为零的两个数，线性相关：线性无

7、关：例如：四个向量：由解得：为任意值。上述向量线性相关。例如：“坐标轴”其中的意义是出现在第位置上的1，这n个向量是线性无关的。对于方程：应用得到：即：，所以这n个向量是线性无关的。考察向量：把它写成：这个方程的解：所以：内积空间：内积：两个矢量可以做内积，得出一个数，即规定一种内积规则，按一定次序任取两个矢量和，总有一个数与之相对应：在实数（复数）域上的内积，得到的数也是实数（复数）。内积与两个因子的顺序有关，内积规则要满足下列四个条件：具有加法、乘法和内积三种运算的空间称为内积空间，而完全的内积空间称为希

8、尔伯特空间。二．矩阵代数矩阵：零矩阵：矩阵的合成：和矩阵的相等：矩阵的加法：矩阵的乘法：例：对易关系：线性变换和矩阵：列向量：变换矩阵线性方程组：方程组：可以写成：若：称为非齐次方程，若：称为齐次方程，方程组有一个平凡解。若：，则：若：，则：3．本征值问题（1）矩阵的本征值：的本征值就是的根。设：构建：其中：为线性无关的向量令：则有：一个阶矩阵有个线性无关的本征向量，通过一个相似变换与一个对角矩阵相