正态模型刻度参数的经验贝叶斯估计(1)

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1、正态模型刻度参数的经验贝叶斯估计刘荣玄朱少平（井冈山学院数理学院江西吉安343009）摘要：依据经验贝叶斯估计的思想，研究在平方损失函数下，正态模型单参数的经验贝叶斯（EB）估计问题．先将理论贝叶斯估计用的边际分布密度函数及该分布密度函数的一阶导数表示出来，再利用过去样本值和当前值，采用密度函数的核估计方法构造相应的函数，代替理论贝叶斯估计中的函数，得到参数的经验贝叶斯估计，最后证明了所得到的经验贝叶斯估计是渐近最优的．关键词：正态模型；参数；经验贝叶斯；估计；渐近最优中图分类号：0212.1　　文献标识码：ＡMR(2000)主题分

2、类号:62C12,62F12EstimationoftheOne-parameterofGeneralNormalModebyEmpiricalBayesLIU-RongxuanZhu-shaoping(JinggangshanCollegeMathandPhysicCollegeJianJiangxi343009)Abstract:BymeansofempiricalBayesianprincipleandmethod,aempiricalBayes(EB)estimatoroftheOne-parameterwasdiscuss

3、edunderthesquarelossfunctionforthegeneralnormalmode.ThetheoreticalBayesevaluationwasindicatedbyusingXmarginaldistributedensityfunctionanditsfirstorderderivative.Usingthepastsamplevalue(x1x2….xn)andpresentvaluex,combinedwithkernelestimationmethodtoconstructrelevantfunct

4、iontoreplacethefunctioninBayesevaluation,theparameterbyempiricalBayeswasobtained.ItwasprovedthattheproposedestimatorwasanasymptoticaloptimalEBestimator.Keywords:generalnormalmodeparameterempiricalBayeskernelestimationasymptoticaloptimality一、问题的提出Bayes统计推断原则：对参数所作任何推断必须

5、基于且只能基于的后验分布，即后验密度函数族，它依赖于的先验分布，而先验分布往往很难确定，当先验分布未知或先验分布中含有未知参数时就难以找到的贝叶斯估计.为解决这一问题，1955年R0bbins提出了经验贝叶斯（EB）方法．自这种方法提出以来，EB估计问题在文献中已有相当多的研究，陈家清和刘次华研究了线性指数分布参数EB估计，王立春和韦来生研究了刻度指数族参数的EB估计的收敛速度，赵林城研究了一类离散分布参数的EB估计的收敛速度，韦程东和王成名研究了相依样本时的线性EB估计等.基于正态分布广泛地存在于客观现实生活中，测量误差、产品质量

6、指标、各种实验参数、新工艺性能参数等几乎都服从或近似服从正态分布，应用广泛,因此本文在平方损失函数下，讨论正态模型单参数的经验贝叶斯估计及它的渐近性．7一、贝叶斯估计设正态模型总体的概率密度函数为　　　　　　　　　（1）其中：为已知常数，的先验分布、概率密度函数，属于先验分布族．设平方损失函数为，为的决策函数，，为决策函数空间，则它的理论贝叶斯估计为，　　　　　　　　　　　　　　（2）其中：为随机变量的后验分布．，为随机变量的的边缘分布，．（3）事实上，的贝叶斯风险为．因为在中达到最小，几乎处处等价于在中达到最小，而．对上式关于求导

7、数，并令其为得正规方程，解此方程得．于是式(2)成立.由于先验分布密度函数的不确定性，因此式（2）在实际应用中存在一定困难．但在客观现实中往往对某随机变量的一些历史资料有所了解，本文将利用历史资料探讨参数的经验贝叶斯（EB）估计．三、经验贝叶斯估计7引理１　对正态模型的分布函数密度式（1），其在平方损失函数下的贝叶斯估计为　　，　　　　　　　　　　　　　　　　　（4）　式中为随机变量的边缘密度函数，为的导数．证明　，上式两边同时对求导得　　　　于是有　　　　而　　　　　　　＝．至此，证明了式（4）成立．在经验贝叶斯估计中通常假设（过

8、去值）和（当前值）是独立的随机变量对，在给定的条件下，有条件概率密度，和有共同的边际密度，如式（3）所示．为历史观测值，为当前观测值．和有相同的先验分布，但和不可观测．根据已观测到的数据采用密度函数的核估计方法来构造和估计式．设为B0