椭圆中焦点三角形的性质(含答案)

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1、鞍山三中高二文科数学专题1：椭圆中焦点三角形的性质及应用性质一：过椭圆焦点的所有弦中通径(垂直于焦点的弦)最短，通径为证明：性质二：已知椭圆方程为两焦点分别为设焦点三角形中则.证明：性质三：已知椭圆方程为两焦点分别为设焦点三角形中则例1.若P是椭圆上的一点，、是其焦点，且，求△的面积.例2.已知P是椭圆上的点，、分别是椭圆的左、右焦点，若，则△的面积为（）A.B.C.D.例3.已知椭圆的左、右焦点分别是、，点P在椭圆上.若P、、是一个直角三角形的三个顶点，则点P到轴的距离为（）A.B.C.D.或例4.已知、是椭圆的两个焦点，椭圆上一点使，求椭圆离心率的取值范围。5鞍山三中高二文科数学

2、练习题：1.椭圆上一点P与椭圆两个焦点、的连线互相垂直，则△的面积为（）A.20B.22C.28D.242.椭圆的左右焦点为、，P是椭圆上一点，当△的面积为1时，的值为（）A.0B.1C.3D.63.椭圆的左右焦点为、，P是椭圆上一点，当△的面积最大时，的值为（）A.0B.2C.4D.4．已知椭圆（＞1）的两个焦点为、，P为椭圆上一点，且，则的值为（）A．1B．C．D．5.已知椭圆的中心在原点，对称轴为坐标轴，、为焦点，点P在椭圆上，直线与倾斜角的差为，△的面积是20，离心率为，求椭圆的标准方程.专题2：离心率求法：1．若椭圆的两个焦点与它的短轴的两个端点是一个正方形的四个顶点，则椭

3、圆的离心率为(　　)A.B.C.D.2．若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列，则该椭圆的离心率是(　　)A.B.C.D.3．若椭圆的短轴长为6，焦点到长轴的一个端点的最近距离是1，则椭圆的离心率为________．4.已知A为椭圆＋＝1(a>b>0)上的一个动点，直线AB、AC分别过焦点F1、F2，且与椭圆交于B、C两点，若当AC垂直于x轴时，恰好有

4、AF1

5、∶

6、AF2

7、＝3∶1，求该椭圆的离心率．5．如图所示，F1、F2分别为椭圆的左、右焦点，椭圆上点M的横坐标等于右焦点的横坐标，其纵坐标等于短半轴长的，求椭圆的离心率．5鞍山三中高二文科数学椭圆中焦点三角形的性质及应用

8、（答案）yF1OF2xP性质二证明：记，由椭圆的第一定义得在△中，由余弦定理得：配方得：即由任意三角形的面积公式得：.同理可证，在椭圆（＞＞0）中，公式仍然成立.性质三证明：设则在中，由余弦定理得：命题得证。例1．解法一：在椭圆中，而记点P在椭圆上，由椭圆的第一定义得：在△中，由余弦定理得：配方，得：从而解法二：在椭圆中，，而例2.解：设，则，故选答案A.5鞍山三中高二文科数学例3.解：若或是直角顶点，则点P到轴的距离为半通径的长；若P是直角顶点，设点P到轴的距离为h，则，又，故答案选D.思路一：由焦点三角形性质二，　≤＜思路二：利用焦点三角形性质⑴，从面积角度考虑不妨设短轴一端点为

9、则≤≤≤≤≥，故　≤＜练习题：1.解：，.故答案选D.2.解：设，，，.故答案选A.3.解：，设，，当△的面积最大时，为最大，这时点P为椭圆短轴的端点，，.故答案选D.4．解：，，，又，，从而.故答案选C.5.解：设，则.，又，，即.解得：.所求椭圆的标准方程为或.离心率求法：1.解析：选A.如图所示，四边形B1F2B2F1为正方形，则△B2OF2为等腰直角三角形，5鞍山三中高二文科数学∴＝.2.解析：选B.由题意知2b＝a＋c，又b2＝a2－c2，∴4(a2－c2)＝a2＋c2＋2ac.∴3a2－2ac－5c2＝0.∴5c2＋2ac－3a2＝0.∴5e2＋2e－3＝0.∴e＝或e＝

10、－1(舍去)．3.解析：依题意，得b＝3，a－c＝1.又a2＝b2＋c2，解得a＝5，c＝4，∴椭圆的离心率为e＝＝.答案：4.解：设

11、AF2

12、＝m，则

13、AF1

14、＝3m，∴2a＝

15、AF1

16、＋

17、AF2

18、＝4m.又在Rt△AF1F2中，

19、F1F2

20、＝＝2m.∴e＝＝＝＝.5.解：法一：设椭圆的长半轴、短半轴、半焦距长分别为a、b、c.则焦点为F1(－c,0)，F2(c,0)，M点的坐标为(c，b)，则△MF1F2为直角三角形．在Rt△MF1F2中，

21、F1F2

22、2＋

23、MF2

24、2＝

25、MF1

26、2，即4c2＋b2＝

27、MF1

28、2.而

29、MF1

30、＋

31、MF2

32、＝＋b＝2a，整理得3c2＝3a2－2ab.

33、又c2＝a2－b2，所以3b＝2a.所以＝.∴e2＝＝＝1－＝，∴e＝.法二：设椭圆方程为＋＝1(a>b>0)，则M(c，b)．代入椭圆方程，得＋＝1，所以＝，所以＝，即e＝.5