线代习题一二三答案

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1、习题一1.计算下列排列的逆序数1）9级排列134782695；2）级排列。解：（1）；（2）。2.选择和，使得：1）1274569成奇排列；2）1254897为偶排列。解：（1）令，则排列的逆序数为：，排列为奇排列。从而。（2）令，则排列的逆序数为：，排列为奇排列。与题意不符，从而。3.由定义计算行列式。解：行列式＝，因为至少有一个大于3，所以中至少有一数为0，从而（任意），于是。4.计算行列式：1）；2）；3）；4）；5）。解：（1）40；（2）－16；（3）0；（4）－1008；（5）0。5.计算阶行列式：1）；2）；

2、3）（）；4）。解：（1）原式=（按第一列展开）=。（2）行列式=（后列和加到第一列，再按第一列展开）==。（3）行列式=（第一行第一列为添加的部分，注意此时为级行列式）=。（4）行列式=（按第二行展开）。提高题1.已知级排列的逆序数为，求排列的逆序数。解：设原排列中1前面比1大的数的个数为，则1后面比1大的数的个数为，于是新排列中1前比1大的个数为个；依此类推，原排列中数前面比大的数的个数为，则新排列中前比大的个数为个记，故新排列的逆序数为。2.由行列式定义计算中与的系数，并说明理由。解：由于行列式定义中的每一项来自于不

3、同行和不同列的个元素的乘积。而该行列式中每个元素最高含的一次项，因此的项只能由对角线上的元素乘积所得到，故的系数为＝2。同样的考虑可得的系数为＝－1。3.设，其中互不相同。1）说明是一个次多项式；2）求的根。解：1)把按第一行展开得：。而，所以是一个次多项式。根据范德蒙行列式2)因为（）代入中有两行元素相同，所以行列式为零，从而的根为。习题二解答1.计算1）；2）已知；求、、。解：1）；2）；；。2.设1），，求。2），，求。解：1）；2）。3.设是阶实方阵，且。证明。证明：设，则。从而。。所以。因为为实数，故（）。即。4

4、.设，互不相同。证明与可交换的矩阵只能为对角矩阵。证明：设与可交换的矩阵为，由得：。即（）。由于互不相同，所以时，。故。即为对角矩阵。5.证明任一方阵可表示成一对称矩阵和一反对矩阵之和。证明：设为方阵，记，，则可知为对称矩阵，为反对称矩阵。且。6.设，定义，其中是阶方阵。已知，，计算。解：。7.已知方阵满足。证明及可逆，并求它们的逆矩阵。证明：由，可得：。所以可逆，且。同理由，可得：。所以可逆，且。8.求下列矩阵的逆阵：1）；2）；3）；4）；5）。解：1）；2）；3）；4）；5）。9.已知，且，求。解：由，可得。又，所以

5、。10.设是阶方阵，如果对任意矩阵均有。证明。证明：记，取，由，可得（）。同理可得（）。从而。11.已知4阶方阵的行列式，求。解：因为，两边取行列式有。所以。12.设，分别为，阶可逆方阵，证明分块矩阵可逆，并求逆。证明：因为，可逆，所以，。故，从而可逆。记是的逆，则，于是，解得。故矩阵的逆为。13.设，其中，存在，求。解：因为，所以的逆为。14.求下列矩阵的秩：1）；2）；3）。解：1）2。2）4。3）当时，秩为1；当有某两个相等时，秩为2；当互不相等时，秩为3。提高题1.秩为的矩阵可表示为个秩为1的矩阵之和。证明：设矩阵

6、的秩，由推论结果可知：存在可逆矩阵和使得，即，其中（）表示第行列元素为1、其余元素为0的阶方阵。记（），则的秩为1，且。2.设矩阵的秩为1，证明：1）可表示成；2）(是一个数)。证明：1）因为的秩为1，所以存在某元素。记的第行元素为，则的任一行向量可由第行线性表示（否则与行向量线性无关，与的秩为1矛盾）。记依次为第1行、、第行的表示系数，则有。2）由1），所以（其中）。3.设是阶方阵，是矩阵，证明：1）的第个元素等于的第行元素之和；2）如果可逆，且的每一行元素之和等于常数，则的每一行元素之和也相等。证明：1）记，则。2）若

7、的每一行元素之和等于常数，由1），由于可逆，所以。从而，即的每一行元素之和等于常数。4.证明：1）上（下）三角矩阵的乘积仍是上（下）三角矩阵；2）可逆的上（下）三角矩阵的逆仍是上（下）三角矩阵。证明：1）记，为上三角矩阵，。则时，，。对任意，当时，，当时，即任意，。从而时，。故上三角矩阵的乘积仍是上三角矩阵。同理可证明下三角矩阵的情形。2）对可逆的上三角矩阵，（），对于，先进行第二类初等行变换（），再作第三类初等行变换把左边变成单位矩阵时，右边即为上三角矩阵。亦即可逆的上三角矩阵的逆仍是上三角矩阵。5.已知实三阶方阵满足：

8、1）；2）。求。解：因为，所以。由于，从而有。于是或。若，则，由于为实三阶方阵，由习题3可得。此与矛盾。从而。6.设，其中是非零矩阵。证明：1）的充分必要条件是；2）当时，是不可逆矩阵。证明：1）若，即有。又是非零矩阵，所以是非零矩阵，从而，即。以上每步可逆，故命题成立。2）当时，由1），。若可逆，则可