朱海英(数学方法求解极值问题赏析)

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1、发表于《高中生之友》2003年第12期数学方法求解物理极值问题赏析（高一、高三）朱海英（浙江省丽水中学浙江丽水323000）高中物理问题中常有求极值问题，常用的求极值的数学方法有：方程根的判别式法，数学式子无意义、二次三项式法、三角函数法、运用基本不等式法、几何法等等。一、运用根的判别式法例1：一列汽车车队以v=10m/s的速度匀速行驶，相邻车间距为25m，后面有一辆摩托车以20m/s的速度同向行驶，当它离车队最后一辆车相距25m时刹车，以加速度0.5m/s2做匀减速运动，摩托车在车队旁边行驶而过，

2、设车队辆数n足够多。试问：（1）摩托车最多与几辆汽车相遇？最多与车队中汽车相遇几次？（2）摩托车从赶上车队到离开车队，共经历多少时间？图125m25m25m25m摩托车v0vvvv1234解析：(1)设摩托车最多与n辆汽车相遇，所用时间为t，如图1所示，刚开始摩托车与第n辆汽车相距sn=25nm，当追上时，摩托车发生的位移为：，汽车发生的位移为：即：，已知：v0=20m/s，a=-0.5m/s2，v=10m/s，可得：20t-=10t+25n化简得：t2-40t+100n=0①由只有当∆=402-4

3、00n≥0时，方程才有实数解，则n≤4，即摩托车最多与四辆汽车相遇。且当n=4时，∆=0，即与第四辆汽车仅相遇一次，而与第1、2、3辆汽车相遇两次，共与汽车相遇7次。(2)摩托车赶上车队时的第一辆汽车，离开时也是第1辆（即尾辆车），故经历的时间为与第一辆汽车相遇两次的时间差。可取n=1代入方程①得：t2-40t+100=0解得：，其中t1为赶上车队时刻，t2为离开车队时刻，且离开车队时，摩托车的速度为：>0即此时摩托车还未停下，所以摩托车从赶上车队到离开车队所需时间为：∆t===34s7发表于《高中

4、生之友》2003年第12期赏评：用根的判别式求极值，常可以避免许多较复杂的数学运算，而且物理意义清晰，不失为一个方便、有效的好方法。二、数学式子无意义图2vFα例2：如图2所示，重为G的木块，在力F的推动下沿着水平地面匀速滑动，若地面与木块的动摩擦因数为μ，F与水平方向成α角，试说明：若α角超过某一临界值时，无论推力F多大，木块都不可能发生滑动，并用μ值表示该临界角大小。解析：物体匀速向右运动受力情况如图3所示，由平衡状态F合=0可得：图3NfGFFcosα=f，Fsinα+G=N，f=μN，整理得

5、：当α为某一值时，恰好推不动，（设最大静摩擦力为fm，滑动摩擦力为f），即：fm=f，物体仍平衡，仍有上述方程成立。显然，F→∞时，cosα-μsinα→0，即当cosα-μsinα＝0时，无论F多大，木块也不可能发生滑动。解得：μ=tan-1赏评：运用数学式子无意义，却有物理解，同样对锻炼学生的逻辑思维能力和理论联系实际能力有很大的帮助。三、二次三项式法例3．甲、乙两地相距L=200km，汽车以速度v1=40km/h从甲地向着正西方的乙地开行，同时有一摩托车以速度v2=30km/h从乙地向着正南方

6、开行，两车何时相距最近？最近距离为多少？解析：设经时间t后两车相距为s，则由图4可知：因：，根据二次三项式的性质，有极小值。即当：时，两车相距最近，由7发表于《高中生之友》2003年第12期L甲乙v1v2s图4所以：赏评：二次函数的通式：，当a>0时，取，则y有最大值，当a<0时，取，则y有最小值。物理量可写成二次函数形式的极值问题求解，常可利用二次三项法。在匀变速运动中位移与时间的关系、遵守动量守恒和动能守恒的弹性正碰问题，电功率的有关计算及透镜成像等问题时常会用到，此类问题同样要注意检验是否出现

7、增根。四、运用三角函数法例4．一物体质量为m，置于倾角为α的斜面上，物体与斜面间的动摩擦因数为μ，若要使物体沿斜面匀速向上滑动，求拉力的最小值。解析：设拉力与斜面的夹角为θ，物体的受力分析，如图5所示。mgαNF图5θf由物体的平衡条件可得：即：令1/μ=tanβ，则≤拉力的最小值：赏评：三角函数知识在物理中也有广泛的应用，如力的合成分解，运动的合成和分析以及遵守动量守恒和动能守恒的弹性碰撞问题。此题构造了两角和的正弦，有效地解决了极值问题的求解，方法直观易懂。五、运用几何法7发表于《高中生之友》2

8、003年第12期图6v水v开sv合例5：一条河宽L=60m，水速v水=4m/s，船在静水中的开行速度v开=3m/s。（1）求小船渡河的最短时间t，这样渡河船的位移是多少？（2）小船渡河的最小位移是多少？解析：（1）小船渡河的运动可看作是小船在静水中的运动与水的运动两个运动的合成。由分运动之间互不影响，且河岸的宽度是一定的，只要小船在垂直于河岸方向的分速度越大，小船渡河的时间就越短，即当小船船头垂直于河岸方向运动时（如图6），时间最短：v水v开sv合θ图7tmin=L/