朝阳区数学研究课

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1、朝阳区数学研究课“三种圆锥曲线的统一性”主讲：陈经纶中学　白雪峰９９年４月１９日教学目标：１、使学生进一步理解三种圆锥曲线统一性并掌握它们的定义，并能通过其内在联系进行合理猜想，解决问题；２、培养学生用数形结合的思想方法解决问题的能力；既教猜想，又教证明，培养学生的探索能力；３、通过启发式、讨论式教学培养学生的协作精神，并培养学生运动变化的辨证唯物主义精神．教学重点、难点：三种圆锥曲线的定义、性质和内在联系是教学重点；据此解决问题是教学的重点．教学媒体：多媒体辅助教学，投影仪．教学方法：启发式、讨论式.教学过程：一、复习引入：师：前面我们学习了椭圆、双

2、曲线、抛物线三种圆锥曲线，三者的定义决定了它们各自的形状和几何性质，因此在圆锥曲线的应用问题中，曲线的定义本身就是最重要的性质，在椭圆、双曲线、抛物线有关焦点弦的问题中，更应该注意定义的应用．今天我们上一节有关这方面的习题课．（板书课题）师：首先，我们一起来回忆一下三种圆锥曲线的统一定义．生：平面上，到定点的距离与到定直线距离之比等于定值，当时，轨迹为椭圆；当时，轨迹为双曲线；当时，轨迹为抛物线.师:好!下面我们来观察屏幕,看看随着离心率的变化,看一看曲线是如何从椭圆演变成双曲线的.生:当时，轨迹为椭圆随着椭圆的离心率的增大，椭圆越来越扁;当时，轨迹为

3、抛物线.当时，轨迹为双曲线，随着双曲线的离心率的增大，双曲线开口越来越大．7　　　　当时，曲线趋近于两条相交直线；师：这里曲线随着离心率数量大小的变化从圆、椭圆、抛物线演变为双曲线，最后变化为两条相交的直线．量的变化引起曲线形状的质变(教师可以适时对学生进行辩证唯物主义教育)．这节课我们通过一些习题具体地体会一下三种圆锥曲线之间的内在联系.例１、为椭圆上一点，为它的一个焦点，求证：以焦半径为直径的圆与以长轴为直径的圆相切．如图（一）师：首先作出图形，要证明两圆相切，你有什么办法？生：根据图形，只须证明两圆的圆心距等于半径之差．具体说只要证明．师：我们连

4、接两圆圆心与，你有何发现？生：连结，则为的中位线．即师：点在椭圆上，可得出什么结论？生：，即:，进而得出　　板书证明过程证明：连结及由为的中位线，则．又点在椭圆上，得所以故图（一）这说明以焦半径为直径的圆与以长轴为直径的圆相切．引申１：已知：为双曲线　上一点，为它的一个焦点，求证：以焦半径为直径的圆与以实轴为直径的圆相切．　师：现在我们将椭圆变成双曲线，情况会怎样呢？请同学们大胆猜一猜．（根据圆锥曲线的统一性容易猜想以焦半径为直径的圆与以实轴为直径的圆相切，但具体是外切还是内切，学生不容易想到．可以演示计算机，启发学生．）生：当在双曲线右支上，为右焦点

5、时，以焦半径7为直径的圆与以实轴为直径的圆外切；当在双曲线左支上，为右焦点时，以焦半径为直径的圆与以实轴为直径的圆内切．（为左焦点时，情况相反）师：很好！下面我们完整地观察一下在双曲线　上运动时，两圆相切的变化过程，验证我们的猜想．如图（二），图（三）．师：下面我们选择情形１，讨论以下证明的思路．　　证明过程由学生课下完成完成．图（二）图（三）引申３：已知：抛物线（为常数），为它的焦点，为焦半径，请猜想：以为直径的圆必与谁相切？　　　　　　图（四）如果学生一时想不出，可以演示计算机曲线从椭圆变化为双曲线的过程，启发学生猜想．如图（五）图（四）7引申４：

6、已知：抛物线（为常数），为它的焦点，为过焦点的弦，求证：以为直径的圆必与抛物线的准线相切．如图（五）用抛物线定义即可证明(由学生课下完成)．例题２、过椭圆的一个焦点作弦，求证：各弦中点的轨迹还是一个椭圆，它和原椭圆有相同的离心率，如图（六）．师：本题形式上是证明题，但实际上是求动点的轨迹问题，请你说说求轨迹的方法．生：用转移代入法（相关点法）．由于弦的端点在椭圆上，又在弦上，所以两端点坐标必满足方程组，再用中点公式代入并进行适当变形即可.师：此方法很好，但是运算量较大．如果将本题改为求轨迹的问题，根据图形如图（六）（计算机演示），可以得到过焦点的椭圆最

7、长弦是长轴，中点即为椭圆中心，最短弦为过焦点垂直于的弦,中点中点为，再利图（七）用与原椭圆有相等的离心率，即知所求轨迹也是椭圆．其中中心在，半长轴为，半短轴为，代入椭圆方程得:　　　　　　　　图(六)　比本题简单了许多.师:根据三种圆锥曲线的统一性,你有何猜想?生:过抛物线的焦点、双曲线的一个焦点作弦，各弦中点的轨迹还是抛物线或一条双曲线，它和原抛物线、双曲线有相同的离心率．师：好！这种猜想很大胆，下面我们用计算机验证一下我们图（七）7的结论．引申1：过抛物线的一个焦点作弦，求证：各弦中点的轨迹还是一条抛物线，如图（八）．　（证明留作习题）引申２：过双

8、曲线的一个焦点作弦，求证：各弦中点的轨迹还是一条双曲线，它和原双曲线有相同的离心率．具体证明如