有限长序列线性卷积课程设计

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1、陕西理工学院课程设计有限长序列线性卷积计算方法物电学院电信082班顾志龙1.有限长序列线性卷积原理1.1序列卷积的定义设给定两个有限长序列x[k]、y[k];则x[k]*y[k]=为两个序列的线性卷积。例：给定两个序列x[k_]=(1/2)ky[k_]=(-1/5)k求它们的卷积。解：z[k_]＝x[k_]*y[k_]＝10/7((1/2)k+1-(-1/5)k+1)ε[k];用mathematica软解求解，程序如下：Clear[x,y,k];(*clear[变量名x,y,z]*)ε[k_]=UnitStep[k];(*单位阶跃函数*)x[k_]=(1/2)kε[k];y[k_]=(-1/

2、5)kε[k];p1=Table[{k,x[k]},{k,0,50,1}];（*在直角坐标系中画出p1的散点图，要求图形为蓝色；显示所有值的平面曲线图形；显示图形高度与宽度之比为1/4*）p2=Table[{k,y[k]},{k,0,50,1}];ListPlot[p1,Filling®{1®{Axis,Blue}},PlotRange®All,AspectRatio®1/4]ListPlot[p2,Filling®{1®{Axis,Blue}},PlotRange®All,AspectRatio®1/4]运算结果如下：1.2圆周卷积圆周卷积的定义要求：两个序列一样长；假设两个序列可以作周期

3、延拓而形成周期序列。例：线性卷积解答：例：已知两个序列x={7,2,3,2,1}、y={1,-2,3,-4,5,2,1}；求它们的卷积用mathematica软解求解：程序如下Clear[x,y,z];（*clear[变量名x,y,z]*）x={7,2,3,2,1};L1=5;y={1,-2,3,-4,5,2,1};L2=7;L=L1+L2-1;z={7,2,3,2,1}.{{1,-2,3,-4,5,2,1,0,0,0,0},{0,1,-2,3,-4,5,2,1,0,0,0},{0,0,1,-2,3,-4,5,2,1,0,0},{0,0,0,1,-2,3,-4,5,2,1,0},{0,0,0

4、,0,1,-2,3,-4,5,2,1}}第一种计算方法：ListConvolve[x,y,{1,-1},0](*直接计算出x,y的卷积*)第5页共5页陕西理工学院课程设计运行结果如下：Out[87]={7,-12,20,-26,33,16,21,14,12,4,1}第二种计算方法：ListPlot[PadRight[x,L1+L2-1],Filling®Axis,AspectRatio®1/5]（*在直角左边系中画出长度为L1+L2-1的x的散点图，要求覆盖坐标系并且图形高度与宽度比为1/5*）ListPlot[PadRight[y,L1+L2-1],Filling®Axis,AspectR

5、atio®1/5]ListPlot[z,Filling®Axis,AspectRatio®1/5]运行结果如下：Out[5]={7,-12,20,-26,33,16,21,14,12,4,1}结论：由圆周卷积的定义可知：序列的L是一样长的，且这个长度是由人为规定的；圆周卷积的第二个序列每一行的长度由L决定，它的行数与第一个序列的元素相等。用圆周卷积的方法解答：规定L=6时；程序如下：Clear[x,y,z];（*clear[变量名x,y,z]*）x={7,2,3,2,1};y={1,-2,3,-4,5,2,1};L=6;xc=PadRight[x,L];yc=PadRight[y,L];zc

6、={7,2,3,2,1}.{{1,-2,3,-4,5,2},{2,1,-2,3,-4,5},{5,2,1,-2,3,-4},{-4,5,2,1,-2,3},{3,-4,5,2,1,-2}};ListPlot[PadRight[x,L],Filling®Axis,AspectRatio®1/5]ListPlot[PadRight[y,L],Filling®Axis,AspectRatio®1/5]ListPlot[zc,Filling®Axis,AspectRatio®1/5]运行结果如下：第5页共5页陕西理工学院课程设计2.3快速傅立叶变换：线性卷积不可用快速傅立叶变换计算；但是圆周卷积可以

7、用快速傅立叶变换。所以线性卷积必须先转换为圆周卷积后才可以进行快速傅立叶变换。根据时域循环卷积定理，x(n)与y(n)的线性卷积可以用循环卷积来代替。给出了一个基于快速傅里叶变换(FFT)的卷积的实现方法，如图1所示。分别对补零后的x(n)和y(n)进行FFT运算，得到对应的频域响应X(k)和Y(k)，将X(k)和Y(k)相乘的结果再做IFFT，即可以得到x(n)和h(n)的卷积结果y(n)。FFTx(k)X