第七节fourier级数

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1、第七节Fourier级数如果f(x)在[a,b]上不是连续,能否有一个函数列收敛于或一致收敛于f(x)？本节将从事这个问题的讨论.为了方便我们讨论的区间为[-ππ].在进行定义域的周期延拓,可以认为f(x)是(—∞,∞)上的以2π为周期的周期函数.所以能否用正弦和余弦函数来表示?形如　　　　　的级数称为三角级数．为了研究一个函数能否表达为一个三角级数的和函数，先给出如下定理：定理11.28（三角函数系的正交性）１）；２）；３）；４）；５）．证明只要简单的计算就可以得到上面的结论．比如４）的证明如下：其余的请读者自己验证．下面将依次予以讨论.一、一般函数的傅立叶级数设函数是区间上周期为的函数.如

2、果函数是一个三角级数的和函数,即，　　　(11-7-1)那么我们就说这个三角级数为的三角展开式.这时系数与函数之间存在什么样的关系呢？即如何用把表示出来．我们假设级数可以逐项积分(比如一致收敛)，则对(11-7-1)式从到逐项积分，得到，由三角函数系的正交性，等式右边除了第一项之外，其余的都是零，所以13，从而可以求出．在(1)式两边同时乘以函数，在从到逐项积分，得到由三角函数的正交性，外，其余的项都是零，所以，从而．类似地，可以求出．注意到当时，，所以上面的结果可以合并为．．（11-7-2）．(11-7-3)一般地，我们给出如下定义:定义1设f(x)在[-ππ]上可积,则由如上所得的,，称为

3、f(x)(关于三角级数)的Fourier系数.将这些系数代入(11-7-1)式得到的级数称为的Fourier级数．记为f(x)~.下面主要讨论两个问题：（1）此级数是否收敛？（2）若级数收敛，是否收敛到?如果,我们就称右边的Fourier级数为13的Fourier展开,或展开成Fourier级数.通过一系列的推导，可以得到下面的定理：定理11.29（Dirichlet收敛定理）设函数是以为周期的周期函数，如果在[-ππ]上最多只有有限个第一类间断点.除间断点外有连续导函数,在间断点的左右极限存在；则函数的Fourier级数收敛，并且当是的连续点时，级数收敛于;当是的间断点时，级数收敛于．这个定

4、理我们暂不给出证明,待后给出．它告诉我们函数展开成Fourier级数的条件比函数展开成泰勒级数条件要弱得多，所以这种展开式用的比较多．例1设函数是周期为的函数，它在上的表达式是．将展开成Fourier级数．解先求Fourier系数其中．由于函数在除了点（为任意整数）外，都时连续的，所以当时，．例2将函数13展开成傅立叶级数．并由此求正项级数的和解此函数不是周期函数，它是区间上的连续函数，要求它的Fourier级数，必须将周期延拓成周期函数，然后就可以和上面的例子一样处理了．将函数周期延拓成周期为的函数（如图），它在的值就是函数．将函数展开成Fourier级数．图11-7-1；．由于函数在上连续

5、，所以．在区间上，，所以对于任意的，有．若令，则，所以13，由此得到．又，所以，即，解得，．故．二、奇函数和偶函数的Fourier级数由前面的例子可以看出，如果函数是周期为的奇函数，则它的Fourier级数中没有余弦函数，这样的级数称为正弦级数．例1的Fourier级数就是正弦级数．如果函数是周期为的偶函数，则它的Fourier级数就没有正弦函数，这样的级数称为余弦级数．例2中的的傅立叶级数就是余弦级数．在实际应用中，有时需要将某个区间上的函数展开成正弦级数或者余弦级数．例3图11-7-213在区间上将函数分别展开成正弦级数和余弦级数．解1．先展开成正弦级数．将函数奇延拓（如图11-7-２）成

6、函数，它是周期为的奇函数．所以函数的正弦级数为，．在时，级数收敛于0．2．将函数展成余弦级数将函数偶延拓成周期为的偶函数，在区间上．如图11-7-３，图11-7-3则；13所以函数的Fourier级数为，．三.一般周期函数的Fourier级数前面我们讨论的Fourier级数都是周期为的周期函数的Fourier级数，对于一般的周期函数是否也可以有Fourier级数呢？回答是肯定的．下面我们就来讨论这个问题．定理11.30　设是周期为的周期函数，它在一个周期的闭区间内满足Dirichlet收敛定理的条件，则它的Fourier级数展开式为(11-7-4)其中系数为,；,．证明由于不是周期为的函数，所

7、以不能直接利用Dirichlet收敛定理，只要构造一个周期为的函数就可以了，为此令，则是周期为的函数，由收敛定理的Fourier级数为．其中在上面的式子中令，则，，于是有．而13定理得证．若函数是奇函数，则它得Fourier级数为；其中，若函数是偶函数，则它得Fourier级数可以写为，例4设函数是周期为2的函数，它在区间上的表达式为，求此函数的Fourier级数图11-7-4解函数在区间上是连续