高二数学_抛物线教案

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1、抛物线的几何性质教案一、要点归纳1.抛物线的概念平面内与一定点F和一条定直线l(l不经过点F)距离相等的点的轨迹叫做抛物线。定点F叫做抛物线的焦点，定直线l叫做抛物线的准线。2.抛物线的性质:抛物线的图形、标准方程、焦点坐标以及准线方程如下表：标准方程图形焦点坐标准线方程范围对称性轴轴轴轴顶点离心率焦半径焦点弦公式3.通径：过抛物线的焦点且垂直于对称轴的弦H1H2称为通径；通径：

2、H1H2

3、=2P4．焦点弦：过抛物线焦点的弦，若，则(1)x1+，（定义）(2)，－p2．（韦达定理）(3)弦长,,即当x1=x2时,

4、弦长最短为2p，此时弦即为通径。(4)若AB的倾斜角为θ，则=（焦点弦公式与韦达定理）5.直线与抛物线相交所得弦长公式6.点P(x0,y0)和抛物线的位置关系(1)点P(x0,y0)在抛物线内y<2px0(2)点P(x0,y0)在抛物线上y=2px0(3)点P(x0,y0)在抛物线外y>2px07.直线与圆锥曲线的位置关系直线与圆锥曲线的位置关系可分为：相交、相切、相离．对于抛物线来说，平行于对称轴的直线与抛物线相交于一点，但并不是相切；对于双曲线来说，平行于渐近线的直线与双曲线只有一个交点，但并不相切．这三种位

5、置关系的判定条件可引导学生归纳为：注意：直线与抛物线、双曲线有一个公共点是直线与抛物线、双曲线相切的必要条件，但不是充分条件．二、例题分析[例1]给定抛物线，设A（）（），P是抛物线上的一点，且，试求的最小值。解：设（）（）  则   ∴∵，∴（1）当时，，此时当时，（2）当时，，此时当时，[例2]过抛物线的焦点作倾斜角为的直线，设交抛物线于A、B两点，求。解：当时，直线AB的方程为由得A（）、B（，） ∴当时，直线AB的方程为由得设A（）、B（），则∴[例3]过抛物线的准线与对称轴的交点作直线，交抛物线于M、N

6、两点，问直线的倾斜角多大时，以线段MN为直径的圆经过抛物线的焦点？解：抛物线的准线与对称轴的交点为（），设直线MN的方程为由 得∵直线与抛物线交于M、N两点   ∴即，，设M（，），N（），抛物线焦点为F（1，0）∵以线段MN为直径的圆经过抛物线的焦点∴MF⊥NF   ∴  即又，，且、同号∴   解得   ∴即直线的倾斜角为或时，以线段MN为直径的圆经过抛物线的焦点。[例4]过抛物线的焦点F的直线与抛物线交于A、B两点，求的值。解：如图所示，设A（）、B（），AB的方程为由得   ∴又∵，  ∴ ∴   ∴  

7、 又[例5]如图，已知直线：交抛物线于A、B两点，试在抛物线AOB这段曲线上求一点P，使的面积最大，并求这个最大面积。解：由解得A（4，4）、B（1，），知，所以直线AB的方程为设P（）为抛物线AOB这条曲线上一点，为P点到直线AB的距离   ∵∴     ∴从而当时，因此，当点P坐标为时，[例6]已知直线与曲线在第一象限有公共点，求的取值范围。解：如图，易知抛物线与轴交于A（0，1）、B（0，3）直线恒过C（），由图象及抛物线的延伸趋势可知当大于零且小于BC的斜率时满足题意而，故。 [例7]设抛物线的焦点为F，

8、经过点F的直径交抛物线于A、B两点，点C在抛物线的准线上，且BC//轴，证明：直线AC经过原点O。证：因为抛物线的焦点坐标为F（）所以经过点F的直线AB的方程为代入抛物线方程得0设A（）、B（），则∵BC//轴，且点C在准线上   ∴点C的坐标为故直线OC的斜率为即也是OA的斜率，所以直线AC经过原点O[例8]如果抛物线上总有关于直线对称的相异两点，试求的范围。解：设抛物线上关于对称的相异两点坐标为A（）、B（）∵两点都在抛物线上   ∴（1）－（2），得    ∵（A、B两点相异）∴（3）（3）代入（2），得∵

9、，且相异   ∴∴   ∴的取值范围是（）三、课堂练习1．双曲线的离心率为2，有一个焦点与抛物线的焦点重合，则mn的值为（　　）A．3/16B．3/8C．16/3D．8/32．已知双曲线的中心在原点，离心率为．若它的一条准线与抛物线的准线重合，则该双曲线与抛物线的交点到原点的距离是（）A．B．C．D．214．抛物线上的一点M到焦点的距离为1，则点M的纵坐标是（）A．17/16B．15/16C．7/8D．05．过抛物线的焦点作一条直线与抛物线相交于A、B两点，它们的横坐标之和等于5，则这样的直线有条.6．连接抛物线

10、上任意四点组成的四边形可能是（填写所有正确选项的序号）.①菱形②有3条边相等的四边形③梯形④平行四边形⑤有一组对角相等的四边形7．抛物线以轴为准线，且过点，证明：不论点在坐标平面内的位置如何变化，抛物线顶点的轨迹的离心率是定值．8.已知抛物线，过动点且斜率为的直线与该抛物线交于不同两点，，（1）求取值范围；（2）若线段垂直平分线交轴于点，求面积的最大值练习答案：1.A2.