考研数学公式推导

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1、积化和差　　积化和差，指初等数学三角函数部分的一组恒等式。公式　　sinαsinβ=-[cos(α+β)-cos(α-β)]/2（注意此公式前的负号）　　cosαcosβ=[cos(α+β)+cos(α-β)]/2　　sinαcosβ=[sin(α+β)+sin(α-β)]/2　　cosαsinβ=[sin(α+β)-sin(α-β)]/2证明　　积化和差恒等式可以通过展开角的和差恒等式的右手端来证明。　　即只需要把等式右边用两角和差公式拆开就能证明：　　sinαsinβ=-1/2[cos(α+β)-cos(α-β)]　　=-1/2[(cosαcosβ-sinαsinβ)

2、-(cosαcosβ+sinαsinβ)]　　=-1/2[-2sinαsinβ]　　其他的3个式子也是相同的证明方法。　　作用　　积化和差公式可以将两个三角函数值的积化为另两个三角函数值的和乘以常数的形式，所以使用积化和差公式可以达到降次的效果。　　在历史上，对数出现之前，积化和差公式被用来将乘除运算化为加减运算，运算需要利用三角函数表。　　运算过程：将两个数通过乘、除10的方幂化为0到1之间的数，通过查表求出对应的反三角函数值，即将原式化为10^k*sinαsinβ的形式，套用积化和差后再次查表求三角函数的值，并最后利用加减算出结果。　　对数出现后，积化和差公式的这个作

3、用由更加便捷的对数取代。和差化积正弦、余弦的和差化积　　指高中数学三角函数部分的一组恒等式　　sinα+sinβ=2sin[(α+β)/2]·cos[(α-β)/2]　　sinα-sinβ=2cos[(α+β)/2]·sin[(α-β)/2]　　cosα+cosβ=2cos[(α+β)/2]·cos[(α-β)/2]　　cosα-cosβ=-2sin[(α+β)/2]·sin[(α-β)/2]　　　　以上四组公式可以由积化和差公式推导得到　　证明过程　　　　sinα+sinβ=2sin[(α+β)/2]·cos[(α-β)/2]的证明过程　　因为　　sin(α+β)=si

4、nαcosβ+cosαsinβ，　　sin(α-β)=sinαcosβ-cosαsinβ，　　将以上两式的左右两边分别相加，得　　sin(α+β)+sin(α-β)=2sinαcosβ，　　设α+β=θ，α-β=φ　　那么　　α=(θ+φ)/2,β=（θ-φ）/2　　把α，β的值代入，即得　　sinθ+sinφ=2sin(θ+φ)/2cos(θ-φ）/2正切的和差化积　　tanα±tanβ=sin(α±β)/(cosα·cosβ)（附证明）　　cotα±cotβ=sin(β±α)/(sinα·sinβ)　　tanα+cotβ=cos(α-β)/(cosα·sinβ)　　t

5、anα-cotβ=-cos(α+β)/(cosα·sinβ)　　证明：左边=tanα±tanβ=sinα/cosα±sinβ/cosβ　　=(sinα·cosβ±cosα·sinβ)/(cosα·cosβ)　　=sin(α±β)/(cosα·cosβ)=右边　　∴等式成立注意事项　　在应用和差化积时，必须是一次同名三角函数方可实行。若是异名，必须用诱导公式化为同名；若是高次函数，必须用降幂公式降为一次　　口诀　　正加正，正在前，余加余，余并肩　　正减正，余在前，余减余，负正弦　　反之亦然　　生动的口诀：（和差化积）　　帅+帅=帅哥　　帅-帅=哥帅　　咕+咕=咕咕　　哥-哥

6、=负嫂嫂　　反之亦然sinx*siny=?正余弦的和差化积和积化和差公式常用的诱导公式有以下几组：公式一：设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等：sin（2kπ＋α）＝sinαcos（2kπ＋α）＝cosαtan（2kπ＋α）＝tanαcot（2kπ＋α）＝cotα公式二：设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系：sin（π＋α）＝－sinαcos（π＋α）＝－cosαtan（π＋α）＝tanαcot（π＋α）＝cotα公式三：任意角α与-α的三角函数值之间的关系：sin（－α）＝－sinαcos（－α）＝cosαtan（－α）＝－tanαco

7、t（－α）＝－cotα公式四：利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系：sin（π－α）＝sinαcos（π－α）＝－cosαtan（π－α）＝－tanαcot（π－α）＝－cotα公式五：利用公式一和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系：sin（2π－α）＝－sinαcos（2π－α）＝cosαtan（2π－α）＝－tanαcot（2π－α）＝－cotα公式六：π/2±α与α的三角函数值之间的关系：sin（π/2＋α）＝cosαcos（π/2＋α）＝－sinαtan（π/2＋α）＝－cotαco