教案 与圆有关的位置关系

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1、与圆有关的位置关系 重点、难点：1.重点：（1）点与圆、直线与圆位置关系的判断。（2）三角形外接圆的性质。（3）切线的识别及切线性质的应用。（4）切线长定理。（5）三角形的内切圆：与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，三角形的内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形。（6）两圆相交、相切的性质和判定。（7）圆和圆的位置关系。2.难点：（1）直线与圆相切的性质和判定。（2）切线的判定方法：切线的性质。（3）要充分发挥基本图形在证、解题中的作用，正确恰当地根据基本规律来添加辅助线。①两圆相交，可作公共弦。②两圆相切，可作公切线。③有半圆，可作整圆；有直径，可作直径所对的圆周

2、角。④圆与圆要心连心，即作连心线。 【知识纵览】1.点与圆的位置关系点与圆的位置关系分为点在圆内、点在圆上、点在圆外三种情况，这三种情况，与点到圆心的距离（d）、圆的半径（r）之间有着紧密的联系。也就是说：点与圆的位置关系，不仅可以用图形来表现，还可以由数量关系来表示，其对应关系可简明地表示如下：图形（点与圆）的位置关系数量（d与r）的大小关系点在圆内d＜r点在圆上d＝r点在圆外d＞r2.直线与圆的位置关系的性质与判定设r为圆的半径，d为圆心到直线的距离，直线与圆的位置关系如下表：位置关系相离相切相交图形公共点个数012数量关系d＞rd＝rd＜r3.三角形内心与外心的区别图形名称确定方法性质

3、外心（三角形外接圆的圆心）三角形三边垂直平分线的交点①OA＝OB＝OC；②外心不一定在三角形的内部内心（三角形内切圆的圆心）三角形三个内角的平分线的交点①OD＝OE＝OF；②OA、OB、OC分别平分∠BAC、∠ABC、∠ACB4.两圆的位置关系、数量关系及识别方法设两圆的半径分别为R和r，圆心距（圆心间的距离）为d。位置关系图形公共点个数R、r与d的关系外离0外切1相交2内切1内含0上表中，两圆内含时，如果d＝0，则两圆同心，这是内含的一种特殊情况。 【典型例题】例1.⊙O的半径为2.5，动点P到定点O的距离为2，动点Q到P点距离为1。问：P点、Q点和⊙O是什么位置关系？为什么？解：∵PO＝

4、2＜2.5∴P点在⊙O内部Q点和O点的距离较复杂，如下图，需分类讨论。当Q点在OP延长线上时，则Q点和O点距离最大，最大距离为。当Q点在OP上时，则Q点和O点距离最小，最小距离为。当Q点处在点和点时，则，如上图所示。综上所述，Q点既可能在⊙O上，也可能在⊙O外，或在⊙O内。 例2.在平面直角坐标系xOy中，当以点O'（4，3）为圆心的圆分别满足下列条件时，求其半径r的取值范围。（1）与坐标轴有惟一交点。（2）与坐标轴有两个交点。（3）与坐标轴有三个交点。（4）与坐标轴有四个交点。解：如下图，由题意，圆心O'到x轴的距离，到y轴的距离。（1）∵⊙O'与坐标轴有惟一公共点∴只可能与x轴有惟一公共

5、点（2）由条件知，⊙O'与x轴相交，但与y轴无公共点（3）∵⊙O'与坐标轴有三个交点∴⊙O'与x轴必相交且与y轴必有公共点若⊙O'与y轴有惟一公共点，则r＝4若⊙O'与y轴有两个公共点，则其中一个公共点必为原点，故r＝5。∴所求r的值为r＝4或r＝5（4）∵⊙O'与坐标轴有四个交点∴⊙O'与两坐标轴都相交，且不过原点∴r＞4且r≠5 例3.如图所示，已知：AB是⊙O的直径，BC是⊙O的切线，切点为B。OC平行于弦AD，试说明：DC是⊙O的切线。解：连结OD因为OA＝OD，所以∠1＝∠2又因为AD∥OC，所以∠1＝∠3，∠2＝∠4因此∠3＝∠4而OB＝OD，OC公共，于是将△OBC沿OC翻折可

6、与△ODC重合所以∠ODC＝∠OBC又BC是⊙O的切线，所以∠OBC＝90°从而∠ODC＝90°，OD⊥DC，故DC是⊙O的切线 例4.如图所示，已知AB、AC分别是⊙O的直径和弦，D为劣弧上一点，DE⊥AB于点H，交⊙O于E，交AC于点F，P为ED延长线上一点。（1）当△PCF满足什么条件时，PC与⊙O相切，请说明理由；（2）当点D在劣弧上的什么位置时，才能使。精析与解答：（1）如图所示，当△PCF为等腰三角形，PC＝PF时，PC与⊙O相切连结OC，当PC＝PF时，∠PCF＝∠PFC∵DE⊥AB，∴∠1＋∠AFH＝90°∴∠1＋∠PFC＝90°，即∠1＋∠PCF＝90°又∵OA＝OC，∴∠

7、1＝∠2∴∠2＋∠PCF＝90°，即PC与⊙O相切于点C（2）当D为劣弧中点时，连结AE，∵D为中点，∴∠3＝∠4又∠ADF＝∠EDA，∴△ADF∽△EDA，即 例5.如下图，AB是半圆⊙O的直径，C为半圆上一点，CD切⊙O于点C，AD⊥CD于点D，⊙C以CD为半径。求证：AB是⊙C的切线。分析：要证AB是⊙C的切线，就是要证点C到AB的距离CE＝CD。即要证△ACD和△ACE全等。证明：过点C作CE⊥AB于