全国初中数学竞赛试题及答案（1998年）

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1、中国数学教育网http://www.mathedu.cninfo@mathedu.cn一九九八年全国初中数学联合竞赛试题第一试一、填空题1.设,那么的整数部分是.2.在直角三角形ABC中,两条直角边AB,AC的长分别为1厘米,2厘米,那么直角的角平分线的长度等于厘米.3.已知,那么代数式的值是.4.已知,是有理数,并且方程有一个根是,那么的值是.5.如图,ABCD为正方形,A,E,F,G在同一条直线上,并且AE=5厘米,EF=3厘米,那么FG=厘米.6.满足19982+=19972+的整数对,共有个.7.设平方数是11个相继整数

2、的平方和,则的最小值是.8.直角三角形ABC中,直角边AB上有一点M,斜边BC上有一点P,已知的面积等于四边形MPCA的面积的一半,BP=2厘米,PC=3厘米,那么直角三角形ABC的面积是__________平方厘米.9.已知正方形ABCD的面积35平方厘米,E,F分别为边AB,BC上的点,AF,CE相交于点G,并且的面积为5平方厘米,的面积为14平方厘米,那么四边形BEGF的面积是____________平方厘米.第7页http://www.mathedu.cnhttp://www.mathsedu.cn共7页中国数学教育网h

3、ttp://www.mathedu.cninfo@mathedu.cn10.把100个苹果分给若干个人,每人至少分一个,且每人分的数目各不相同,那么至多有__________人.11.设为实数,那么的最小值是__________.12.1,2,3,98共98个自然数中,能够表示成两整数的平方差的个数是_______.13.在右边的加法算式中,每一个□表示一个数字,任意两个数字都不相同,那么A与B乘积的最大值是____________.14.直线AB和AC与圆O分别为相切于B,C两点,P为圆上一点,P到AB,AC的距离分别为4厘米

4、,6厘米,那么P到BC的距离为厘米.15.每一本书都有一个国际书号:ABCDEFGHIJ,其中ABCDEFGHI由九个数字排列而成,J是检查号码.令S=10A+9B+8C+7D+6E+5F+4G+3H+2I,r是S除以11所得的余数,若r不等于0或1,则规定J=11-r.(若r=0,则规定J=0;若r=1,规定J用表示)现有一本书的书号是962707015,那么=.第二试1.求所有正实数,使得方程仅有整数根.2.已知P为▱ABCD内一点,O为AC与BD的交点,M、N分别为PB,PC的中点,Q为AN与DM的交点,求证:(1)P,Q

5、,O三点在一条直线上;(2)PQ=2OQ.3.试写出5个自然数,使得其中任意两个数中的较大的一个数可以被这两个数的差整除.一九九八年第一试1．3第7页http://www.mathedu.cnhttp://www.mathsedu.cn共7页中国数学教育网http://www.mathedu.cninfo@mathedu.cn，，∴，.2．如图，AD为直角A的平分线，过B作交CA的延长线于点E.，，，又∽，，∴.3．2.4．3因为m、n为有理数，方程一根为，那么另一个根为，由韦达定理.得，，∴.5．由原图，∴(厘米).6．16,

6、.第7页http://www.mathedu.cnhttp://www.mathsedu.cn共7页中国数学教育网http://www.mathedu.cninfo@mathedu.cn显然，对3995的任意整数分拆均可得到(m,n)，故满足条件的整数对(m,n)共(个).7．1111个相继整数的平方和为,则y最小时，从而，∴.8．∵∽，，,∴，..9．∵，同理,由原图，连BG.记，，，.又由已知，，解之得，.∴.10．13由题意，设有n人，分苹果数分别为1,2,…,n≤100,∴n≤13，所以至多有13人.11．-1第7页ht

7、tp://www.mathedu.cnhttp://www.mathsedu.cn共7页中国数学教育网http://www.mathedu.cninfo@mathedu.cn≥-1.当，，即，时，上式不等式中等号成立，故所求最小值为-1.12．73对(1≤m

8、取A=5，B=3，此时b,e为6,8;a,c,f为2,4,7，故A·B最大值为15.14．如图，，，.P,Q,C,N四点共圆，P,Q,B,N四点共圆,，，∴∽，第7页http://www.mathedu.cnhttp://www.mathsedu.cn共7页中国