线性代数重点难点

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1、自考《线性代数》重难点解析2011-02-1711:09:49 

2、  作者:min 

3、  来源:考试大 

4、 查看:第一章　行列式一、重点1、理解：行列式的定义，余子式，代数余子式。2、掌握：行列式的基本性质及推论。3、运用：运用行列式的性质及计算方法计算行列式，用克莱姆法则求解方程组。二、难点行列式在解线性方程组、矩阵求逆、向量组的线性相关性、求矩阵的特征值等方面的应用。三、重要公式1、若A为n阶方阵，则│kA│=kn│A│2、若A、B均为n阶方阵，则│AB│=│A│。│B│3、若A为n阶方阵，则│A*│=│

5、A│n-1若A为n阶可逆阵，则│A-1│=│A│-14、若A为n阶方阵，λi（i=1，2，…，n）是A的特征值，│A│＝∏λi四、题型及解题思路1、有关行列式概念与性质的命题2、行列式的计算（方法）1）利用定义2）按某行（列）展开使行列式降阶3）利用行列式的性质①各行（列）加到同一行（列）上去，适用于各列（行）诸元素之和相等的情况。②各行（列）加或减同一行（列）的倍数，化简行列式或化为上（下）三角行列式。③逐次行（列）相加减，化简行列式。④把行列式拆成几个行列式的和差。4）递推法，适用于规律性强且零元素较多的

6、行列式5）数学归纳法，多用于证明3、运用克莱姆法则求解线性方程组若D=│A│≠0，则Ax=b有唯一解，即x1=D1/D，x2=D2/D，…，xn=Dn/D其中Dj是把D中xj的系数换成常数项。注意：克莱姆法则仅适用于方程个数与未知数个数相等的方程组。4、运用系数行列式│A│判别方程组解的问题1）当│A│＝0时，齐次方程组Ax＝0有非零解；非齐次方程组Ax＝b不是唯一解（可能无解，也可能有无穷多解）2）当│A│≠0时，齐次方程组Ax＝0仅有零解；非齐次方程组Ax＝b有唯一解，此解可由克莱姆法一、重点1、理解：矩

7、阵的定义、性质，几种特殊的矩阵（零矩阵，上（下）三角矩阵，对称矩阵，对角矩阵，逆矩阵，正交矩阵，伴随矩阵，分块矩阵）2、掌握：1）矩阵的各种运算及运算规律2）矩阵可逆的判定及求逆矩阵的各种方法3）矩阵的初等变换方法二、难点1、矩阵的求逆矩阵的初等变换2、初等变换与初等矩阵的关系三、重要公式及难点解析1、线性运算1）交换律一般不成立，即AB≠BA2）一些代数恒等式不能直接套用，如设A，B，C均为n阶矩阵（A+B）2=A2+AB+BA+B2≠A2+2AB+B2（AB）2=（AB）（AB）≠A2B2（AB）k≠Ak

8、Bk（A+B）（A-B）≠A2-B2以上各式当且仅当A与B可交换，即AB=BA时才成立。3）由AB=0不能得出A=0或B=04）由AB=AC不能得出B=C5）由A2=A不能得出A=I或A=06）由A2=0不能得出A=07）数乘矩阵与数乘行列式的区别2、逆矩阵1）（A－1）－1＝A2）（kA）－1=（1/k）A－1，（k≠0）3）（AB）－1=B－1A－14）（A－1）T=（AT）－15）│A－1│=│A│－13、矩阵转置1）（AT）T＝A2）（kA）T=kAT，（k为任意实数）3）（AB）T=BTAT4）（A

9、+B）T=AT+BT4、伴随矩阵1）A*A＝AA*=│A│I（AB）*=B*A*2）（A*）*=│A│n-2│A*│=│A│n-1，（n≥2）3）（kA）*=kn-1A*（A*）T=（AT）*4）若r（A）=n，则r（A*）=n若r（A）=n-1，则r（A*）=1若r（A）

10、列）的对应元素注意：用初等变换①求秩，行、列变换可混用②求逆阵，只能用行或列变换③求线性方程组的解，只能用行变换6、初等矩阵1）由单位阵经过一次初等变换所得的矩阵2）初等阵P左（右）乘A，所得PA（AP）就是A作了一次与P同样的行（列）变换3）初等阵均可逆，且其逆为同类型的初等阵E-1ij=Eij，E（-1）i（k）=Ei（1/k），E（-1）ij（k）=Eij（-k）7、矩阵方程1）含有未知矩阵的等式2）矩阵方程有解的充要条件AX=B有解<==>B的每列可由A的列向量线性表示<==>r（A）=r（A┆B）四

11、、题型及解题思路1、有关矩阵的概念及性质的命题2、矩阵的运算（加法、数乘、乘法、转置）3、矩阵可逆的判定n阶方阵A可逆<==>存在n阶方阵B，有AB=BA=I<==>│A│≠0<==>r（A）=n<==>A的列（行）向量组线性无关<==>Ax=0只有零解<==>任意b，使得Ax=b总有唯一解<==>A的特征值全不为零4、矩阵求逆1）定义法：找出B使AB=I或BA=I2）伴随阵法：A-1=（1/│A│