(初二14)概念的分类

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1、初中数学竞赛辅导资料（初二14）概念的分类甲内容提要1.概念的分类是揭示概念的外延的重要方法。当一个概念的外延有许多事物时，按照某一个标准把它分成几个小类，能更明确这一概念所反映的一切对象的范围，且能明确各类概念之间的区别与联系。2.概念分类必须用同一个本质属性为标准，把一种概念分为最邻近的类概念。例如三角形可按边的大小分类，也可用角的大小分类；又如整数可按符号性质分为正、负、零，也可以按除以模m的余数分类。分别表示如下：整数整数　整数　整数3.一种概念所分成的各类概念应既不违漏，又不重复。即每一个被分的对象必须落到一个类，并且只能落到一个类。所分的各类概念的外延总和应当与被分的概念的外延总

2、和相等。例如　正整数按下列分类是正确的正整数　　正整数如果只分为质数和合数，则外延总和比正整数的外延小；如果分为奇数和偶数则外延总和比正整数外延大，因此都不对。又如等腰三角形的定义是：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形。所以三角形按边的大小分类　应是分成两类：不等边三角形和等腰三角形，　而不能是三类：（不等边，等腰，等边）如果这样，三边相等的三角形将落入两类（等腰，等边），所以概念的分类与概念的定义有直接联系。4.二分法是常用的分类法。即把一种概念分为具有和不具有某种属性。例如三角形平面内两条直线位置魔靖123实数可分为：非负实数和负实数；四边形可分为：平行四边形和非平行四边形等等。1.从属

3、关系的概念（上下位概念）是指一个概念的外延包含着另一个概念的外延。种概念与它所分的各类概念之间的关系就是从属关系。例如：等边三角形从属于等腰三角形，而等腰三角形又从属于三角形又如：代数式包含有理式和无理式，有理式包含整式和分式，整式包含单项式和多项式。其关系可图示如下：代数式　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　三角形　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　等腰三角形有理式　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　等边三角形整式　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

4、　　　　　　　　　单项式6.并列关系的概念是两个概念的外延互相排斥，互不相容。由同一种概念分成的各类概念之间的关系是并列关系的概念（同位概念）。例如：偶数和奇数；有理式和无理式；直角三角形、钝角三角形和锐角三角形，它们之间的关系都是并列关系的概念。可图示如下:　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　7.交叉关系的概念是指两个概念的外延有一部分重

5、叠。　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　一种概念用不同的标准分类，所得的各类概念之间的关系　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　可能就有交叉关系的概念。例如：正数和整数是交叉关系的概念，既是正数又是整数的数叫做正整数；　等腰三角形和直角三角形也是交叉关系的概念，外延重叠的部分，叫做等腰直角三角形。图示如下:　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　魔靖123乙例题30例1.把一元一次不等式ax>b　(a,b是实数，x是未知数)的解的集合分类。解：把实数a,b按正，负，零分类，得不等式解的集合如下：　ax

6、>b的解集　例2.一个等腰三角形的周长是15cm,底边与腰长的差为3cm，求这个三角形的各边长。解：设底边长为xcm,则腰长是cm当腰比底大时是　－x=3∴x=3　　　＝6　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　当腰比底小时是　x－=3∴x=7　=4答（略）例3.化简①　（－2　　　②解：①∵要使有意义，必须且只需x+1≥0，即x≥－1（－2　＝＋x+1－2＝＋x－1当－1≤x<1时，原式＝－（x－1）+x－1＝0当x≥1时，　原式＝x－1＋x－1＝2x－2②化去分母根式时，要乘以，当x=y时，不能进行。故当x=y时　＝＝当x≠y时　　＝　　魔靖123例4.设a,b,c是三个

7、互不相等的正整数　求证：a3b－ab3,b3c－bc3,ca3－ca3三个数中，至少有一个能被10整除　　　　　　　　　　　　　　（1986年全国初中数学联赛题）分析：∵10＝2×5，只要证明三个数中，至少有一个含2和5质因数即可，含2，可把a,b,c分为奇数和偶数两类；含5，则要按除以5的余数分类。解：∵　a3b－ab3=ab(a+b)(a-b),b3c－bc3=bc(b+c)(b-c),ca3－ca3