《高代解几》专升本考纲

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1、四川理工学院数学系专升本《高等代数》、《解析几何》考试大纲第一部分高等代数一、多项式1、知识范围(1)数域、一元多项式、整除的概念.(2)最大公因式,因式分解定理,重因式,多项式函数.(3)复系数与实系数多项式的因式分解,有理系数多项式.2、要求(1)理解数域的概念.(2)理解并掌握一元多项式的定义、运算及运算性质,多项式的整除、互素的概念及性质,最大公因式的概念.掌握多项式的带余除法和辗转相除法.(3)理解不可约多项式、本原多项式、重因式、多项式函数的概念.掌握因式分解与数域的关系,因式分解及唯一性定理,复系数多

2、项式与实系数多项式的因式分解定理及标准分解式.(4)有理系数多项式有理根的求法,有理系数多项式不可约的判定(艾森斯坦判别法).二、行列式1、知识范围(1)排列、n级行列式的定义.(2)行列式的性质,行列式的计算.(3)Cramer法则.2、要求(1)理解排列、逆序、奇偶排列的概念,掌握对换与排列的关系.会计算一个n级排列的逆序数,并判断该排列的奇偶性.(2)理解n级行列式的定义、能确定出每项前带的符号.熟练掌握行列式的基本性质,能熟练应用基本性质计算n级行列式.掌握计算的三种基本方法(化三角形、递推、表为行列式之和

3、).(3)理解并掌握行列式按行(列)展开,余子式与代数余子式的概念,范德蒙行列式.(4)克拉默法则及其应用.三、线性方程组1、知识范围(1)消元法、6(2)n维向量空间及向量的线性相关性.(3)矩阵的秩.(4)线性方程组有解判别定理及线性方程组解的结构.2、要求(1)掌握线性方程组的消元法.(2)理解并掌握n维向量的定义、基本运算和运算的性质,向量的线性组合、线性表示、线性相关及线性无关的概念、性质、判定及相关定理,两个向量组等价的定义,向量组的极大无关组、向量组的秩.(3)矩阵的秩的定义及计算,会利用矩阵的秩计算

4、向量组的秩,会利用初等变换求矩阵的秩和解线性方程组.(4)掌握线性方程组有解的判别定理、解的性质,齐次线性方程组解的结构和基础解系,非齐次线性方程组解的结构及全部解的求法.四、矩阵1、知识范围(1)矩阵的运算,矩阵的逆及其秩.(2)矩阵的分块,初等矩阵,分块乘法的初等变换及应用.2、要求(1)掌握矩阵的概念、运算和运算规律,几种特殊矩阵(单位矩阵、对角矩阵、对称(反对称)矩阵、数量矩阵等),矩阵乘积的行列式与秩.(2)理解并掌握可逆矩阵的定义及简单性质,伴随矩阵及用伴随矩阵求逆矩阵的方法.(3)理解并掌握初等矩阵的

5、定义,矩阵的等价,初等矩阵与初等变换的关系,熟练掌握用初等变换求逆矩阵的方法.(4)了解矩阵分块的定义及其运算,分块乘法的初等变换及其应用.五、二次型1、知识范围(1)二次型及其矩阵表示.(2)二次型的标准形、规范形.(3)正定二次型.2、要求(1)掌握二次型的矩阵与秩,二次型与对称矩阵的对应关系,二次型的等价与矩阵的合同.(2)理解并掌握标准形的定义、化二次型为标准型的配方法和合同变换法,二次型的规范形,实二次型的惯性定理.(3)理解并掌握正定二次型(正定矩阵)的概念,实二次型(实对称矩阵)正定的充要条件.(4)

6、了解负定、半正定、半负定、不定二次型(矩阵)的概念.六、线性空间1、知识范围(1)线性空间的定义与简单性质.(2)线性空间的基与维数,向量的坐标,基变换与坐标变换.6(3)子空间、子空间的交与和、子空间直和.(4)线性空间的同构.2、要求(1)理解并掌握线性空间的定义与简单性质,线性空间的维数、基与坐标的概念,基变换与坐标变换,过渡矩阵的概念.会求线性空间的基与维数,会求过渡矩阵、向量的坐标.(2)理解并掌握线性子空间的定义及其判定,扩基定理,子空间的交与和运算及其性质,维数公式,子空间的直和及是直和的充要条件.(

7、3)掌握线性空间同构的定义及充要条件.七、线性变换1、知识范围(1)线性变换的定义与运算.(2)线性变换的矩阵,特征值与特征向量,矩阵对角化问题.(3)线性变换的值域与核,不变子空间.2、要求(1)理解并掌握线性变换的定义、运算及运算性质,线性变换的矩阵,坐标变换公式,线性变换在不同基下的矩阵,矩阵的相似关系.(2)理解并掌握特征值、特征向量、特征多项式的定义,特征值与特征向量的求法,相似矩阵有相同的特征多项式,哈密尔顿—凯莱定理.(3)掌握属于不同特征值的特征向量之间的关系,特征子空间的维数与所属特征根重数的关系

8、,矩阵可对角化的条件.(4)了解不变子空间的定义,不变子空间与矩阵可对角化的关系,线性变换的值域与核,线性变换的秩与零度的关系.八、欧几里得空间1、知识范围(1)欧氏空间的定义和基本性质.(2)标准正交基、正交变换.(3)欧氏空间的同构、子空间.(4)实对称矩阵的标准形.2、要求(1)掌握欧氏空间的定义和简单性质,向量的长度、夹角、距离,度量矩阵的概念及性质

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