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《2012-2013高代第二学期期中试卷答案》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在行业资料-天天文库。
1、北京交通大学2012-2013学年第二学期《高等代数II》期中考试试卷参考答案及评分标准一．填空题（本题满分30分，共10道小题，每道小题3分）1．已知R3的两组基：I:；II:；那么由I到II的过渡矩阵为。2.在中，已知，，，是的基，那么，在该基下的坐标为(5,3,2,4)。3.设是方程组解空间，是方程组的解空间，那么∩是方程组的解空间。4.设,则3。5.设、都是V的子空间，且+为直和，那么0。6.设线性变换A在基的矩阵为，线性变换B在基下的矩阵为第5页共5页，那么A+B在基下的矩阵为.7．设3阶矩阵A的特征为1，2，3，那么A-1的特征值为1,1/2,1/
2、3。8．设A=与矩阵B=相似，那么的值分别是0,1。9．设A=，A（X）=AX是P3上的线性变换，那么A的零度=0。10．在P[x]3中,定义D（，那么D的特征值为0。二．判断题（本题满分20分，共10道小题，每道小题2分）11.一个线性方程组的全体解向量必做成一个线性空间。（错）12.实数域上的全体几级可逆矩阵做成的子空间。（错）13.齐次线性方程组的解空间的维数等于自由未知数的个数。（对）14.线性空间V中任意两个子空间的并集仍是V的子空间。（错）15.在子空间的和+中，如果，且这种表示形式唯一，那么+为直和。（对）16．设是V中固定非零向量，，A，那么A
3、是V上的线性变换。（错）17．设V=P，(V)是V上的全体线性变换组成的空间，那么（V）的维数=4。（错）18．两个矩阵A，B有相同的特征值，则A与B相似。（错）19．设线性变换A在给定基下的矩阵为A，那么A的值域的维数等于A的秩。（对）第5页共5页20.线性变换A的核与值域的交是A的不变子空间。（对）三.(6分)设（1）证明1，是的基，并求由该基到基的过渡矩阵。（2）求在基1，下的坐标。解(1)若a+b(x-1)+c(x2+1)=0,则a-b+c+bx+cx2=0.从而a=b=c=0.这样1，线性无关,从而是的基,它到基的过渡矩阵为…..3分(2)设a+b(
4、x-1)+c(x2+1)=f(x),则易得a=3,b=1,c=1,从而坐标为(3,1,1).…..3分四.(12分)在P2x2上定义线性变换A（1）求A在基下的矩阵；（2）求A的核和它的零度。（3）求A的值域和A的秩。解(1)A()=(,,,)=().……….4分(2)A的核为{X
5、AX=0}={,a,b∈P}.故它的零度为2…….8分第5页共5页(3)A的值域为L(,,,)=L(,),故它的秩为2………12分五.(12分)设（1）求A的全部特征值。（2）求A的属于每个特征值的特征向量。（3）求一个可逆矩阵X，使X-1AX为对角形。解(1)特征多项式为
6、λE-
7、A
8、=λ(λ-2)2,所以特征值为0,2(二重)……4分(2)λ=2,,得所以属于2的全部特征值为s+t,s,t不同时为0.λ=0,,得所以属于0的全部特征值为k,k不等于0……..8分(3)令X=,则X-1AX=diag(2,2,0)……………12分六.(6分)设是n维线性空间，A是上的线性变换，为A的不同特征值。第5页共5页（1）证明特征子空间是A－子空间。（2）证明的维数=的维数+的维数。证明(1)任取Vλ中一个向量θ,则Aθ=λθ∈Vλ,所以Vλ为A的不变子空间……3分(2)α∈Vλ∩,则Aα=λα=μα,因为λ≠μ,所以α=0,所以Vλ∩=0,所以的
9、维数=的维数+的维数……3分.七.(6分)已知向量α=(a1,a2,…,an),β=(b1,b2,…,bn),试求矩阵A=αTβ的全部特征值。解如n=1,则A为1阶矩阵,从其特征值为a1b1.…….1分以下设n>1.则易见A的各行成比例,故
10、A
11、=0,所以0必为A的一个特征值.……3分注意到A的秩最多为1,若A的秩为0,则A只有一个特征值为0…….4分若A的秩为1,则对应于0的特征值子空间的维数为n-1.…………….5分因此,A还有一个不同于0的特征值,由于A的迹等于其特征值之和,所以A的另一特征值为a1b1+a2b2+…+anbn………6分八.(8分)设的解
12、空间，是的解空间，证明：。证明设k为A的任一特征值,则存在特征向量α使得Aα=kα.……1分从而A2α=kAα=k2α,因为A2=A,所以kα=k2α……….3分由于α为特征向量,必有k=k2,,所以k=1或0。……4分而属于0的特征向量构成的子空间恰为W1,属于1的特征向量构成的子空间恰为W2.所以由第六题结论可知。…….6分又因为A(A-E)=0,所以R(E)=R(A-(A-E))≤R(A)+R(A-E)≤n,所以R(A)+R(A-E)=n.dimW1+dimW2=n-R(A)+n-R(A-E)=n.所以。…….8分第5页共5页
