【豆丁精品推荐】第讲 数列的通项公式的求法

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1、第10讲数列的通项公式的求法一、本讲目标：掌握求数列通项的常用方法；通过递推关系探讨数列的通项公式，这类问题的处理方法是向特殊数列（等差、等比数列）转化，利用特殊数列的性质求数列的通项公式。二、知识要点：1．公式法(1)设是等差数列，首项为，公差为，则其通项为；(2)设是等比数列，首项为，公比为，则其通项为；(3)已知数列的前项和为，则。2．求递推数列的常用方法：①递推关系形如：的数列用累加法直接求解，得，（）然后求解。②递推关系形如：的数列用累乘法直接求解，得，（）③递推关系形如：（为常数且）的数列两边同除于，求出的表达式，

2、再求；还有形如的递推式，也可采用取倒数方法转化成为形式，利用后面的第④类方法解决；④递推关系形如：（为p，q为常数且）的数列（ⅰ）通过待定系数法化为，再利用等比数列求出的表达式，进而求出；（ⅱ）也可由得两式相减可得：，利用成等比数列求出，再利用累加法求；（ⅲ）也可利用迭代法得：，求和得；⑤递推数列形如：的数列（为常数且）（ⅰ）可化为，利用第④种类型求出后解出；（ⅱ）也可利用累加法：，，，10，，，由上述个等式相加可解解出；⑥递推数列形如：的数列用待定系数法，设为，就是，则可从，解得，于是是公比为的等比数列，这样就转化为类型⑤。

3、3．特征根法设二阶常系数线性齐次递推式为（），其特征方程为，其根为特征根。（1）若特征方程有两个不相等的实根，则其通项公式为（），其中A、B由初始值确定；（2）若特征方程有两个相等的实根，则其通项公式为（），其中A、B由初始值确定。证明：设特征根为，则所以====即是以为公比，首项为的等比数列。所以，所以(1)当时，则其通项公式为，其中，；(2)当时，则其通项公式为，其中4．不动点法若，则称为的不动点，利用不动点法可将非线性递归式化归为等差数列、等比数列或易于求解的递关系的递推关系，从而达到求解的目的。典型例子：令，即，令此方

4、程的两个根为：若，则有（构造等差数列）10其中可以用待定系数法求解，然后再利用等差数列通项公式求解。若，则有其中，可以用待定系数法求解，然后再利用等比数列通项公式求解。5．数学归纳法三、例题选讲例1．设数列的前项和为．已知，，．（Ⅰ）设，求数列的通项公式；（Ⅱ）若，，求的取值范围．变式1．设数列满足，．求数列的通项。10例2．在数列中，，，且（）．（Ⅰ）设（），证明是等比数列；（Ⅱ）求数列的通项公式；（Ⅲ）若是与的等差中项，求的值，并证明：对任意的，是与的等差中项．变式2．已知数列的首项，前项和，求数列的通项公式。例3.在数列

5、中，，当时，有，求的通项公式。10例4.在数列中，，当时，有，求的通项公式。变式3：已知函数，为函数的导函数．若数列满足：，（），求数列的通项。例5．在数列中，，，，求的通项公式。10例6．设数列的前项和为已知（I）设，证明数列是等比数列（II）求数列的通项公式。例7．已知a1=2，点(an,an+1)在函数f(x)=x2+2x的图象上，其中=1，2，3，…（Ⅰ）证明数列｛lg(1+an)｝是等比数列；（Ⅱ）设Tn=(1+a1)(1+a2)…(1+an)，求Tn及数列｛an｝的通项；例8．（1）已知数列的首项，，．求的通项公式

6、；（2）已知函数已知数列满足,,求数列的通项公式。10例9．设为实数，是方程的两个实根，数列满足，，（…）．（1）证明：，；（2）求数列的通项公式；（3）若，，求的前项和．例10．设数列{}的前n项和为，并且满足，（n∈N*）.（1）求，，；（2）猜想{}的通项公式，并加以证明；10四、巩固练习：1．设，，，，则数列的通项公式=．2．设数列的前项和为，对任意的正整数，都有成立，数列的通项公式是。３．设{an}是首项为1的正项数列，且(n+1)an+12－nan2＋an+1an=0，(n=1,2,3,…)，则它的通项公式是an=

7、.４．已知数列{an}的各项均为正数，且前n项之和Sn满足6Sn=an2+3an+2，若a2、a4、a9成等比数列，求数列的通项公式。５．已知数列的前n项和（n为正整数）。令，求证数列是等差数列，并求数列的通项公式；６．各项均为正数的数列，，且对满足的正整数都有求通项．７．设数列的前项和为，已知（Ⅰ）证明：当时，是等比数列；（Ⅱ）求的通项公式８．设数列和满足，，且求证：是完全平方数。（2000年全国高中联赛加试题）10105HssehGul;8Lx@_9=:9

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