2014全国建模 (6) 月球软着陆

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1、2.1均匀球体三维动力学模型首先定义几个坐标系:（1）参考惯性坐标系OXrYrZr原点。原点O位于月球中心，Zr轴由月心指向初始软着陆点，Xr轴位于环月轨道平面内且指向前进方向，Yr轴与Xr，Zr构成直角坐标系。该坐标系仅用于软着陆下降轨迹和制导律设计中；（2）下降轨道参考坐标系OX0Y0Z0.原点O位于着陆器质心，Z0轴由月心指向着陆器质心为正，X0轴位于当地水平面内且指向着陆器前进方向，Y0轴与X0和Z0轴构成直角坐标系；（3）着陆器体坐标系OXbYbZb。原点O位于着陆器质心，Xb轴在制动推力矢量延长线上，沿推力方向为正，Yb，Zb轴分别根据着陆器上仪器设备的安装而定，并与X

2、b轴构成直角坐标系。坐标系示意图及着陆器位置与推力矢量关系如图2所示。图2(a)给出了上面各坐标系的示意和着陆器在坐标系中的位置，图2(b)给出了F在下降轨道参考坐标系中的位置。其中，α为在XrYr平面内的横向月心角；β为下降轨道平面内的纵向月心角；推力F与坐标系OX0Y0Z0之间的2个推力方向角分别为推力方位角ψ和推力仰角θ，他们定义为:推力方位角绕正Z0轴旋转为正，推力仰角绕负Y0轴旋转为正。分别用U，V，W表示着陆器下降速度在坐标系OX0Y0Z0三轴上的分量，于是有W=r，U=rβ，V=rαsinβ.若不考虑摄动影响且忽略月球自转，同时引入质量方程，可利用球坐标系与直角坐标系

3、的关系最终得到下降轨道参考坐标系下的软着陆动力学模型r=W，α=V/rsinβ，β=U/r,U=Fcosθcosψm-UWr+V2rtanβ,v=Fcosθcosψm-VWr-UVrtanβ,W=Fsinθm-μmr2+U2+V2r,m=-FIspge.(2)(2)式表示的制动段动力学模型也是软着陆全过程的动力学仿真模型。2.2月心惯性系下软着陆动力学模型为了同环月运动的参考系一致，同时便于对软着陆下降窗口进行分析，需要将着陆器的运动表示在月心赤道惯性坐标系下。首先给出月心赤道惯性系OXYZ的定义:原点O位于月球中心，XY平面在月球赤道平面内，其中，X轴指向J2000平春分点在月球

4、赤道上的投影，Z轴指向月球北极，Y轴与X和Z轴构成直角坐标系。要考察着陆器在月心赤道惯性坐标系下的运动规律，需要得到月心赤道惯性系与月心惯性参考系之间的变换关系。以降轨着陆为例，两坐标系的关系如图3所示。可以看出，由月心赤道惯性系OXYZ变换到月心惯性参考系OXrYrZr需经过4次旋转:Z(Ω+180˚)→X(-i0)→Z(⍴)→X(90˚)。由此可以得出他们之间的坐标变换矩阵CIr为CIr=CX(90˚)CZ(⍴)CX(-i0)CZ(Ω+180˚)(3)其中，i0为环月停泊轨道的轨道倾角，软着陆下降轨道位于环月轨道平面内；Ω为环月停泊轨道的升交点赤经；旋转角ρ可利用图3(b)中的

5、球面三角形LMN'求得，其中L为着陆点位置，N'为环月轨道降交点。⍴=90˚-β-τ=90˚-β-sin-1(sinδsini0)(4)(4)式中，δ为着陆点赤经，事先给定；β为着陆器经过的月心角，可通过仿真得出。于是，月心赤道惯性系下的位置可表示为[XYZ]T=(CIr)T[XrYrZr]T(5)其中，月心惯性参考系下的位置表示由图2和(2)式给出，如下Xr=rsinβcosα，Yr=rsinβsinα，Zr=rcosβ.2.3初始下降位置确定首先需要获得软着陆过程赤经赤纬的变化。这里需要利用软着陆下降轨迹设计的一个结论:软着陆下降轨迹平面在环月停泊轨道平面内。月心赤道惯性系下的

6、着陆器位置可表示如下X=rsinβLcosαL，Y=rsinβLsinαL，Z=rcosβL.其中，r为着陆器矢径；αL为着陆器的赤经；着陆器的赤纬等于90−βL。于是，容易得出αL，βL的表达式αL=tan-1YX,X>0，Y>0tan-1YX+π,X<0tan-1YX+2π,X>0，Y<0βL=cos-1(Z/r)（7）由(7)式即可求得赤经和赤纬的变化量:ΔαL=αLf−αL0，ΔβL=βLf−βL0。于是，由下式即得软着陆初始下降点的经纬度λL0和ϕL0，如下λL0=λLf-ΔαL+ωmΔt，ϕL0=ϕLf+ΔβL，（8）其中，ΔαL和ΔβL由(8)式给出：Δt为软着陆过程

7、所需时间。