轨迹问题与对数螺线

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1、轨迹问题与对数螺线一轨迹问题〈1〉问题的提出作为匀变速直线运动与匀速圆周运动的共同推广，考虑下面的问题：给自由粒子施加一个力，并保持力的大小及其与粒子速度的夹角不变，则粒子将沿着怎样的轨迹运动？〈2〉分析与解答设：粒子的质量为m，初速度为；施加的力为，与粒子速度的夹角为α（即：将逆时针旋转后与同向），0=<α<2π。显然，α=0或π时做匀变速直线运动，α=π/2或3π/2时做匀速圆周运动；而其它情况下，粒子将沿着一类螺旋线顺时针或逆时针运动。本文主要求解及讨论此螺线。求螺线方程似乎该用极坐标系，然而行不通，因为只有在确定方程之后才能确定合适的极点。所以首先建立自然坐标系

2、（，）如图示（为到的角）：根据牛顿第二定律：又（②式为本题之关键）再建立直角坐标系，使与同向，原点在起点则由（I）、（II）解得：（详见附1）其中二方程的化简为化简（*）式，宜作如下代换：，，；，。于是，（*）式化为：其中与的物理意义是显然的，分别代表粒子在作用下，速率由增加到所发生的位移和所用时间。α现在，令、，容易看出，粒子轨迹方程的极坐标形式为：⑤这是一条对数螺线，形状如下图示：三纵使变化依然故我对数螺线又称等角螺线。若一条曲线在每个点P的切向量都与某定点O至此点P所成的向量夹成一定角，且定角不是直角，则此曲线称为一条等角螺线，O点称为它的极点。对于等角螺线的探讨

3、，以伯努利（J.Bernoulli,1654～1705年）的成果最为丰硕。他发现将等角螺线作某些变换时，所得的曲线仍是全等的等角螺线。这些变换包括：求等角螺线的垂足曲线；求等角螺线的渐屈线；求等角螺线反演曲线；求等角螺线的焦线；将等角螺线以其极点为中心作伸缩变换，由于这些变换都可以使等角螺线再生，这个现象使伯努利大为欣慰，所以，临殁遗言要将等角螺线的这些性质刻在他墓碑上，同时题上一句话：「Eademmutataresurgo」（纵使变化，依然故我）。自然界中对数螺线很普遍。许多贝壳都很接近等角螺线的形状，象鼻、动物的角与毛等都呈对数螺线形。在植物中，向日葵、菠萝与雏菊上

4、的螺纹也都呈对数螺线形。下图是鹦鹉螺的横截面，这么美的线条，令人不得不佩服造物之奇。（来自等角螺線及其他）A:附录.doc