万有引力习题全面剖析

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1、【知识点精析】一.万有引力定律：1.内容：宇宙间有质量的物体之间都是相互吸引的，两个物体之间的引力大小，跟它们质量的乘积成正比，跟它们距离的平方成反比。公式：F=G·m1·m2/r2其中G=6.67×10－11N·m2/kg22.条件：适用于质点，或可视为质点的均匀球体。二.重力和地球的万有引力：1.地球对其表面物体的万有引力产生两个效果：（1）物体随地球自转的向心力：F向=m·R·（2π/T0）2，很小。由于纬度的变化，物体做圆周运动的向心力不断变化，因而表面物体的重力随纬度的变化而变化。（2）重力约等于万有引力：在赤道处：，所以，因地球自转角速度很小，，所

2、以。地球表面的物体所受到的向心力f的大小不超过重力的0.35%，因此在计算中可以认为万有引力和重力大小相等。如果有些星球的自转角速度非常大，那么万有引力的向心力分力就会很大，重力就相应减小，就不能再认为重力等于万有引力了。如果星球自转速度相当大，使得在它赤道上的物体所受的万有引力恰好等于该物体随星球自转所需要的向心力，那么这个星球就处于自行崩溃的临界状态了。在地球的同一纬度处，g随物体离地面高度的增大而减小，即。强调：g=G·M/R2不仅适用于地球表面，还适用于其它星球表面。2.绕地球运动的物体所受地球的万有引力充当圆周运动的向心力，万有引力、向心力、重力三力

3、合一。即：G·M·m/R2=m·a向=mg∴g=a向=G·M/R2三.天体运动：1.开普勒行星运动规律：（1）所有的行星围绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳处在所有椭圆的一个焦点上。（2）对每一个行星而言，太阳行星的连线在相同时间内扫过的面积相等。（3）所有行星的轨道的半长轴的三次方跟公转周期的二次方的比值都相等。其表达式为：，其中R是椭圆轨道的半长轴，T是行星绕太阳公转的周期，k是一个与行星无关的常量。2.基本问题是研究星体（包括人造星体）在万有引力作用下做匀速圆周运动。基本方法：将天体运动理想化为匀速圆周运动，所需的向心力由万有引力提供。即：G·M·m/r2=

4、m·v2/r=m·r·ω2=m·r·（2π/T）2=m·r·（2πf）23.绕行中心星体的运动的快慢与绕行半径的关系：（1）由G·M·m/r2=m·v2/r得v=，r越大，v越小。第11页（2）由G·M·m/r2=m·r·ω2得，r越大，ω越小。（3）由G·M·m/r2=m·r·（2π/T）2得，r越大，T越大。在地表附近，可以认为T==83.7h。4.中心天体质量M和密度ρ的估算：测量卫星绕天体匀速圆周运动的半径r和周期T，由G·M·m/r2=m·r·（2π/T）2得M=4π2•r3/G•T2再测量天体的半径，得到ρ=M/V=M/（π•R3）=4π2•r3/

5、（G•T2•π•R3）=3π•r3/（G•T2•R3）若卫星绕天体表面圆周运动，则：ρ=3π/（G•T2）5.双星：宇宙中往往会有相距较近，质量可以相比的两颗星球，它们离其它星球都较远，因此其它星球对它们的万有引力可以忽略不计。在这种情况下，它们将各自围绕它们连线上的某一固定点做同周期的匀速圆周运动。这种结构叫做双星。（1）由于双星和该固定点总保持三点共线，所以在相同时间内转过的角度必相等，即双星做匀速圆周运动的角速度必相等，因此周期也必然相同。（2）由于每颗星的向心力都是由双星间相互作用的万有引力提供的，因此大小必然相等，由F=mrω2可得，得，即固定点离质

6、量大的星较近。注意：万有引力定律表达式中的r表示双星间的距离，按题意应该是L，而向心力表达式中的r表示它们各自做圆周运动的半径，在本题中为r1、r2，千万不可混淆。当我们只研究地球和太阳系统或地球和月亮系统时（其他星体对它们的万有引力相比而言都可以忽略不计），其实也是一个双星系统，只是中心星球的质量远大于环绕星球的质量，因此固定点几乎就在中心星球的球心。可以认为它是固定不动的。6.人造地球卫星：（1）近地卫星：近地卫星的轨道半径r可以近似地认为等于地球半径R，又因为地面附近，所以有。它们分别是绕地球做匀速圆周运动的人造卫星的最大线速度和最小周期。（2）地球同步

7、卫星：分析：绕地球旋转的卫星所需的向心力由地球的万有引力提供，因为物体所受的引力指向地心，因而所有的地球卫星的轨道平面一定过地心；而地球同步卫星相对地表静止，必随地球自转，所以同步卫星的轨道平面一定过地心且垂直地轴——过赤道的平面。推导：由同步卫星T=24h，而G·M·m/r2=m·r·(2π/T)2∴r==4.2×104km（3）三种宇宙速度：①第一宇宙速度（环绕速度）：人造地球卫星最小的发射速度，等于物体近地圆运动的运行速度。推导：由G·M·m/R2=m·v12/R或m·g=m·v12/R得v1==7.9km/s第11页②第二宇宙速度（脱离速度）：物体挣脱

8、地球引力束缚的最小发射速度。v2=11