第1章 随机信号概论(概论)

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随机过程讲义陈庆虎武汉大学电子信息学院参考书：1．随机信号分析基础。王永德　王军　编著，电子工业出版社。2．随机信号分析。朱华　等编著，北京理工大学出版社。3．随机过程及其应用。陆大絟编著，清华大学出版社。10 第一章　随机信号概论1．1信号与噪声1．1．1信号分类信号一般按数字特点分类，有以下四种方法：1、确定信号与随机信号2、连续信号与离散信号3、周期信号与非周期信号4、能量型信号与功率型信号我们接触过许多信号处理方法，大致可归纳为：随机过程研究处理的对象：与时序有关的随机信号。1．1．2　信号·误差·噪声一、信号来源被测的物理量都是信号，按物理特性可分为：长度、热学、力学、电磁、无线电、放射性、光学、声学、化学、生物、医学等内容。二、信号的测量信号接收、量具测量、仪器测量。1．直接测量：用量具或仪器直接测出物理量的量值。--被测对象(目标)，--测量值，2．间接测量：，为测量值，为测量目标。通过计算出。更一般的模型为例1：消耗在电阻上的功率与电流和电阻值之间的关系为，可测量出与的值，算出的值。例2，由雷达系统确定飞机的位置。为了确定飞机与雷达的距离，我们可以发射一个电磁脉冲，这个脉冲在遇到飞机时就产生反射，继而由天线接收的回波将会引起秒的延时，测量现，距离可由方程确定，其中是电磁传播速度。10 图1.1雷达发射脉冲图1.2接收信号3．组合测量：测量目标有多个时，需要通过组合测量，解联立方程组，求得被测量的值。一般模型为：设为个被测目标，为个被测值，要得出的值，至少要经过次测量，其组合测量的数学模型为为的第次测量值。通过解联立方程组，得出的值。例2：一个标准线圈的电阻值，与温度变化呈非线性关系，它们的关系可用下式表示：式中：在温度为时的电阻值；10 ：在温度为20度时的电阻值；和：线圈的电阻温度系统；：温度值。把、、当作被测目标，改变测量条件，取三个不同的温度、和，测得相应的、和，可得出三元联立方程组，解出、、的值。一、测量误差的来源——噪声(1)方法噪声。它是由于所采用的测量原理或计算方法本身所产生的测量误差。原因：对被测对象的有关知识研究得不够充分，不能全面地考虑一些因素对测量所造成的影响；受客观条件及技术水平的限制；应用的测量原理本身是近似的，或忽略了一些测量过程中实际在起作用的因素；用接触测量破坏对象的原有状况；用静态的测量方法解决动态对象测量。(2)仪器噪声在进行测量时所使用的测量设备或仪器本身固有的各种因素的影响而产生的误差。测量装置的技术指标，如准确度、灵敏度、稳定性的好坏取决于测量装置的结构、设计、所用元器件的性能、零部件材料的性能，加工制造和装配的技术水平等因素。在设计和制造各种测量仪器时，只能根据现有的条件与可能提出的实际要求，而与理想的要求总会有一定的差距。所以在测量过程中，所用的装置、设备、和仪器仪表无论怎样满足规定的使用条件、无论怎样细心操作，总会使测量值产生误差。(3)环境噪声因为周围环境因素对测量的影响，使测量产生误差。这些影响因素存在于测量系统之外，但对测量系统会直接或间接发生作用，例如温度、湿度、大气压、电场、磁场、机械振动、加速度、地心引力、声响、光照、灰尘、各种射线、电磁波等。这些因素在不同的测量过程中，对测量产生的影响程度可能不同。它们不但能影响测量系统产生测量误差，有时也能引起被测对象的变化，严重时甚至造成测量设备的毁坏或使测量难于进行。为了区分环境误差和装置误差(仪器误差)，人为确定所谓标准环境(基准条件)，或在产品铭牌及使用说明书上规定测量仪器的使用条件。在基准条件下进行测量所产生的测量误差就认为是测量仪器的固有误差(装置误差)。若使测量仪器在超过基准条件规定的环境下工作，因为环境影响造成测量误差的增大，这种测量误差的增加量，称为仪器的附加误差，也称为环境误差。(4)主观噪声主观误差也称为人为误差，是由进行测量的操作人员的素质条件所引起的误差。其中有一类是难于避免的，例如因为测量人员的感觉器官的分辨能力、反应滞后、习惯感觉和操作技术水平因素而引起的观测误差。另一类是可以避免的主观误差：例如测量人员的粗心大意而造成的读值、记录和计算错误，或操作失误造成的测量错误。10 (5)其它噪声。如近似计算产生的误差；物理常数产生的误差。1．1．3有噪声的信号模型当信号受噪声污染后，其信号模型一般表示为：—信号，—随机噪声(误差)，—随机信号。1．1．4随机噪声的统计特性以直接测量为例：对一固定量进行多次重复测量，经过大量实际的检验，随机误差具有下面四条特征：(1)对称性：绝对值相等的正、负误差出现的概率相同。即当测量次数相当大时，绝对相等符号相反的随机误差出现的机会相同。(2)有界性：绝对值很大的误差出现的概率为0。即在一定的条件下，随机误差的绝对值不会超过某一界限。(3)单峰性：绝对值小的误差出现的概率大于绝对值大的误差出现的概率。绝对值小的误差较绝对值大的误差出现的次数多。(4)抵偿性：随着测量次数的增加，随机误差的代数和趋于零。1．1．5随机噪声的正态分布规律高斯(C.F.Gauss)于1809年推导出描述随机误差统计规律的解析方程式，即概率密度函数，称为高斯分布定律，其结论如下：设对某一固定量作等精度次测量，得到测量列，则随机噪声的概率密度函数为：这种分布称为正态分布或高斯分布，记为。其图为：10 随机信号的概率密度函数为：记为。正态分布规律是研究随机信号处理的理论基础，其实用价值可用下面四点理由说明：(1)实验证明，大量观测值的随机信号都服从正态分布。(2)测量值落在区间的概率，可计算如下：(3)概率论中的大数定理和中心极限定理在理论上已证明，当满足随机变量是相互独立的、数学期望和方差都是有限的条件时，则其总和的分布是以正态分布为其极限分布。(4)经典随机信号理论是以正态分布作为基础理论发展起来的。(5)有些测量，尤其是测量次数很少时，测量误差服从什么规律尚不清楚，描述其统计规律的数学表达式更难于找到，在这种情况下常可用正态分布来代替。1．2随机变量的概率分布函数1．2．1随机变量的概念随机噪声是随机变量的一种形式。在物理世界中，随机变量同是所有随机现象的数学抽象。最典型的随机事件是掷一个标号为1、2、3、4、5、6的六面体骰子，出面1、2、3、4、5、6的能性是随机的。引入随机变量的严格数学模型，是随机信号处理的理论基础。需要规定一些常用术语。10 试验：对不确定性事件的观测或试验，简称试验，用表示。样本点：试验中每一个可能的结果称为样本点，用或带有下标的表示。样本空间：试验中一切可能结果的集合，称为样本空间，用表示，即：事件：试验中的随机事件(简称事件)，一定是样本空间的一个子集。用表示事件，则必有。事件域：由所有可能事件组成的集合，称为事件域，用表示。概率空间：样本空间，由样本空间的事件构成的事件域，事件的概率三个实体结合为一个概率空间。随机变量：对样本空间中的样本点进行量化映射，，这种映射满足单值函数的条件，则就是随机变量，简记为。为数学上严格起见，给出随机变量严格的定义：定义：设已知一个概率空间，对于，是一个取实值的单值函数，若对于任意实数，是一个随机事件，则称是随机变量。离散型随机变量：随机变量只可能取有限个或一串值，即。的一切可能值为，记连续型随机变量：随机变量可以在某一区间内任意取值。1．2．1随机变量的概率分布函数分布函数的定义：设是一个概率空间，是定义在其上的一个随机变量，对于任意(实数域)，令：称为随机变量的分布函数。按的定义，当时，10 密度函数的定义：对于连续型随机变量，如果存在非负函数，使则称为连续型随机变量的分布密度函数，或密度函数。分布函数的性质：(1)是非负、单调递增函数。(2)是右连续的。(3)1．3随机变量的数字特征离散型随机变量的数学期望：离散随机变量的一切可能值为，，若，则称为的数学期望。离散型随机变量的数学期望：设连续型随机变量的密度函数为，称为的数学期望。随机变量的方差：记，称为的方差。对于离散型随机变量，对于连续型随机变量，10 期望与方差的作用：在参数估计中，用无偏性和最小方差性来定义最优估计。例：直接测量的真实值估计问题(1)真实值：在一定条件下，被测对象的真实值是客观存在的。(2)测得值测得值是被测对象真实值的近似。对于一般测量，可直接把测得值作为测量结果表示出来。对于精密测量，则应根据误差理论及有关知识对测得进行加工整理，然后得出合理的测量结论。(3)真实值的估计直接测量的数学模型可表示为：，是测量误差。a)用单次测得值来估计真实值(实用于精度要求不高的测量)。，是的估计值。b)用多次测量值。在次测量不能满足实际需要的测量精度情况下，为了达到测量精度，必须经过多次测量。在等精度测量条件下，取有限次测得值。用这些值来估计被测对象的真实值。常用方法是：记，用作为的估计。问题：两种估计方法，哪种方法更优？设，则有，则有：，，及都无偏估计。，，两者的方差不一样，说明估计的稳定程度不一样。一般地，当估计是无偏的，且方差达到最小时，是最优估计。阶矩：称为随机变量的阶矩。随机变量函数的期望：10 10