北_大学2000入学考諕諕鞘. 郏子军学

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1、北京大学2000年研究生入学考试试题考试科目：量子力学考试时间：2000.1.23下午招生专业：物理系各专业研究方向：各研究方向指导老师试题：一．（20分）质量为m的粒子，在位势中运动，a.试给出存在束缚态的条件，并给出其能量本征值和相应的本征函数；b.给出粒子处于x>0区域中的几率。它是大于1/2，还是小于1/2，为什么？二．（10分）若

2、α>和

3、β>是氢原子的定态矢（电子和质子的相互作用为库仑作用，并计及电子的自旋—轨道耦合项）a.给出

4、α>和

5、β>态的守恒量完全集；b.若,则

6、α>和

7、β>态的那些量子数可能是不同的，为什么？

8、（注：f(r)是r的非零函数，为电子的自旋和坐标算符。）三．（16分）三个自旋为1/2的粒子，它们的哈密顿量为求本征值和简并度。四．（22分）两个自旋为1/2的粒子，在表象中的表示为，其中，是第i个粒子自旋向上的几率，是第i个粒子自旋向下的几率。a.求哈密顿量的本征值和本征函数；（V0为一常数）b.t=0时，体系处于态，，求t时刻发现体系在态，的几率。（注：为第i个粒子泡利算符的x,y分量）五．（10分）考虑一维谐振子，其哈密顿量，而,a.若

9、0〉是归一化的基态矢（a

10、0）=0），则第n个激发态为试求归一化因子；c.若外加一微扰

11、，，试求第n个激发态的能量本征值（准至g一级）。六．（22分）考虑体系，A>0，a.利用变分法，取试探波函数为，求基态能量上限；b.我们知道，如试探波函数为，则基态能量上限为。对这两个基态的能量上限，你能接受哪一个？为什么？