分式与二次根式基础

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1、分式与二次根式基础知识网络               考点一、分式的有关概念及性质1.分式  设A、B表示两个整式.如果B中含有字母,式子就叫做分式.注意分母B的值不能为零,否则分式没有意义.2.分式的基本性质  (M为不等于零的整式).3.最简分式  分子与分母没有公因式的分式叫做最简分式.如果分子分母有公因式,要进行约分化简.  要点诠释:  分式的概念需注意的问题:  (1)分式是两个整式相除的商,其中分母是除式,分子是被除式,而分数线则可以理解为除号,还含有括号的作用;  (2)分式中,

2、A和B均为整式,A可含字母,也可不含字母,但B中必须含有字母且不为0;  (3)判断一个代数式是否是分式,不要把原式约分变形,只根据它的原有形式进行判断.  (4)分式有无意义的条件:在分式中,    ①当B≠0时,分式有意义;当分式有意义时,B≠0.    ②当B=0时,分式无意义;当分式无意义时,B=0.    ③当B≠0且A=0时,分式的值为零.考点二、分式的运算1.基本运算法则  分式的运算法则与分数的运算法则类似,具体运算法则如下:  (1)加减运算  ±=     同分母的分式相加减,

3、分母不变,把分子相加减.  ;  异分母的分式相加减,先通分,化为同分母的分式,然后再按同分母分式的加减法则进行计算.  (2)乘法运算   两个分式相乘,把分子相乘的积作为积的分子,把分母相乘的积作为积的分母.  (3)除法运算   两个分式相除,把除式的分子和分母颠倒位置后再与被除式相乘.  (4)乘方运算 (分式乘方)  分式的乘方,把分子分母分别乘方.2.零指数 .3.负整数指数 4.分式的混合运算顺序  先算乘方,再算乘除,最后加减,有括号先算括号里面的.5.约分  把一个分式的分子和分

4、母的公因式约去,这种变形称为分式的约分.6.通分  根据分式的基本性质,异分母的分式可以化为同分母的分式,这一过程称为分式的通分.  要点诠释:  约分需明确的问题:  (1)对于一个分式来说,约分就是要把分子与分母都除以同一个因式,使约分前后分式的值相等;  (2)约分的关键是确定分式的分子和分母的公因式,其思考过程与分解因式中提取公因式时确定公因式的思考过程相似;在此,公因式是分子、分母系数的最大公约数和相同字母最低次幂的积.  通分注意事项:  (1)通分的关键是确定最简公分母;最简公分母应

5、为各分母系数的最小公倍数与所有因式的最高次幂的积.  (2)不要把通分与去分母混淆,本是通分,却成了去分母,把分式中的分母丢掉.  (3)确定最简公分母的方法:  最简公分母的系数,取各分母系数的最小公倍数;  最简公分母的字母,取各分母所有字母因式的最高次幂的积.考点三、分式方程及其应用1.分式方程的概念  分母中含有未知数的方程叫做分式方程.2.分式方程的解法  解分式方程的关键是去分母,即方程两边都乘以最简公分母将分式方程转化为整式方程.3.分式方程的增根问题  验根:因为解分式方程可能出现

6、增根,所以解分式方程必须验根.验根的方法是将所得的根带入到最简公分母中,看它是否为0,如果为0,即为增根,不为0,就是原方程的解.4.分式方程的应用  列分式方程解应用题与列一元一次方程解应用题类似,但要稍复杂一些.解题时应抓住“找等量关系、恰当设未知数、确定主要等量关系、用含未知数的分式或整式表示未知量”等关键环节,从而正确列出方程,并进行求解.另外,还要注意从多角度思考、分析、解决问题,注意检验、解释结果的合理性.  要点诠释:  解分式方程注意事项:  (1)去分母化成整式方程时不要与通分运

7、算混淆;  (2)解完分式方程必须进行检验,验根的方法是将所得的根带入到最简公分母中,看它是否为0,如果为0,即为增根,不为0,就是原方程的解.  列分式方程解应用题的基本步骤:  (1)审——仔细审题,找出等量关系;  (2)设——合理设未知数;  (3)列——根据等量关系列出方程;  (4)解——解出方程;  (5)验——检验增根;  (6)答——答题.考点梳理考点四、二次根式的主要性质  1.;  2.;  3.;  4.积的算术平方根的性质:;  5.商的算术平方根的性质:.  6.若,则

8、.  要点诠释:  与的异同点:  (1)不同点:与表示的意义是不同的,表示一个正数a的算术平方根的平方,而表示一个实数a的平方的算术平方根;在中,而中a可以是正实数,0,负实数.但与都是非负数,即,.因而它的运算的结果是有差别的, ,而  (2)相同点:当被开方数都是非负数,即时,=;时,无意义,而.考点五、二次根式的运算1.二次根式的乘除运算  (1)运算结果应满足以下两个要求:①应为最简二次根式或有理式;②分母中不含根号.  (2)注意知道每一步运算的算理;2.二次根式的加减

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