4计算函数零点和极值点的迭代法

4计算函数零点和极值点的迭代法

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时间:2018-07-26

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1、第4章计算函数零点和极值点的迭代法本章讨论非线性方程(组)的求解问题4.1不动点迭代法及其收敛性1.不动点设非线性方程组f(x)=0(4.1-1)等价:x=F(x)(4.1-2)则有迭代格式:x(k+1)=F(x(k)),k=0,1,2,…若F连续,且迭代序列{x(k)}收敛到x*,则两边取极限得x*=F(x*),即x*满足(4.1-2),从而满足(4.1-1),即x*为f零点。称x*为F(x)的不动点。注:(1)求零点求不动点(2)F(.)称为迭代函数,{x(k)}称为迭代序列(3)不同方法构造迭代函数,得不同的迭代序列2.迭代法的基本问题(1)如

2、何构造适当的迭代函数F(.)使迭代序列{x(k)}收敛(2)收敛的速度和误差(3)如何加速4.1.1解一元方程的迭代法1.根的隔离设一元方程f(x)=0,f连续,其实根可能有很多,需将各根隔离,即f在[a,b]内有且仅有一根。方法:设fÎC[a,b],f(a)f(b)<0,且f在[a,b]上单调,则f在[a,b]内有且仅有一根。2.迭代序列的收敛性因为可以有多种迭代函数,所产生的迭代序列{x(k)}有可能:(1)收敛快(2)收敛慢(3)不收敛例1f(x)=x3–x–1=0,求f在x=1.5附近的根,初值取x(0)=1.5。(p328)取——收敛取j(

3、x)=x3–1——不收敛定理4.1-1(1)设j(x)ÎC[a,b],且对于任意xÎ[a,b]有j(x)Î[a,b],则j在[a,b]上必有不动点。(2)进一步,若j(x)ÎC1[a,b],且存在L<1,使对于任意的xÎ[a,b]有

4、j'(x)

5、£L<1(4.1-4)则对于任意的x(0)Î[a,b],x(k+1)=j(x(k))收敛于唯一不动点x*Î[a,b]。且有(4.1-5)证明:(1)若j(a)=a或j(b)=b,则结论显然成立现设a0,y(

6、b)=j(b)–b<0,故存在x*Î[a,b],使y(x*)=0,即j(x*)–x*=0Þj(x*)=x*(2)设j(x)ÎC1[a,b],且满足(4.1-4),若有x1*,x2*Î[a,b],x1*¹x2*,j(xi*)=xi*i=1,2由微分中值定理,

7、x1*–x2*

8、=

9、j(x1*)–j(x2*)

10、=

11、j'(ξ)

12、

13、x1*–x2*

14、£L

15、x1*–x2*

16、<

17、x1*–x2*

18、矛盾,所以不动点唯一。由

19、x(k)–x*

20、=

21、j(x(k-1))–j(x*)

22、£L

23、x(k-1)–x*

24、£…£Lk

25、x(0)–x*

26、及0

27、

28、x(k)–x*

29、£L

30、x(k-1)–x*

31、得

32、x(k)–x*

33、£L

34、x(k-1)–x(k)+x(k)–x*

35、£L

36、x(k-1)–x(k)

37、+L

38、x(k)–x*

39、从而有又因

40、x(k)–x(k-1)

41、=

42、j(x(k-1))–j(x(k-2))

43、£L

44、x(k-1)–x(k-2)

45、£…£Lk-1

46、x(1)–x(0)

47、,代入上式的右边,即得注:(1)若L»1,则收敛很慢,须考虑加速问题(2)(4.1-5)中第一式为后验公式—迭代停止准则第二式为先验公式—预测迭代次数(3)定理是以[a,b]中任一点作初值,迭代都收敛,称为全局收敛。(此要求较难满足,故考虑在)

48、x*的某一邻域内—局部收敛性定理4.1-2设x*为j的不动点,j'在x*的某邻域内连续,且

49、j'(x*)

50、<1,则存在d>0,只要x(0)Î[x*–d,x*+d],迭代法x(k+1)=j(x(k))收敛。证明:∵

51、j'(x*)

52、<1,及j'(x)在U(x*)内连续,存在d>0,使[x*–d,x*+d]ÌU(x*),且"xÎ[x*–d,x*+d]有

53、j'(x)

54、£q<1Þ"xÎ[x*–d,x*+d],

55、j(x)–x*

56、=

57、j(x)–j(x*)

58、=

59、j'(ξ)

60、

61、x–x*

62、£q

63、x–x*

64、

65、意x(0)Î[x*–d,x*+d],迭代法x(k+1)=j(x(k))收敛。注:只要x(0)充分接近x*,且

66、j'(x(0))

67、明显小于1,则{x(k)}收敛于x*。例2求方程x=e–x在0.5附近的根。由于

68、j'(0.5)

69、=e–0.5»0.61明显小于1,故收敛3.收敛阶定义4.1-1设x(k)®x*,记ek=x(k)-x*若存在p³1,及c0,使则称{x(k)}是p阶收敛的,或称收敛阶为p(p越高收敛越快)注:(1)p=1,01,称超线性收敛(3)p=2,称平方收敛因为

70、x(k+1)–x*

71、=

72、j(x(k))–

73、j(x*)

74、=

75、j'(ξ)

76、

77、x(k)–x*

78、,其中ξ在x(k)和x*之间。则所以若j'(x*)¹0,则为线

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