变换实质是一种离散拉氏变换

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1、8－3Z变换变换实质是一种离散拉氏变换，可以看作是拉氏变换的推广与发展。我们已经很熟悉，对于一个线性连续系统，其运动特性可用线性微分方程来描述，并且可应用拉氏变换的方法来分析其动态及稳态性能。相似地，一个线性采样系统，其运动特性可由线性差分方程来描述，相应地，需要应用离散拉氏变换法，即所谓z变换法来分析其动态及稳态性能。由式(8－2)或式(8－3)可知，一般连续函数的采样函数为将式(8－10)进行拉氏变换，可得采样函数的拉氏变换式，用表示比较(8－10)与(8－11)式可知，采样函数的拉氏变换式与采样函数本身在形式上有明显的对应关系。求取采样函数的拉氏变换式本身并无

2、特殊困难，但是需要指出的是采样函数的拉氏变换式中包含有项，这是复变量的超越函数。这对采样系统的分析研究，将带来很大的不便，为了克服这一困难，简化对采样系统的计算，引入变换概念。一、z变换的定义如果引入新的复变量z，使或，代入式(8－11)，则将变成新变量的函数，通常用来表示，即我们称为的z变换，记作，即这里应强调指出，只有采样函数才能定义变换。如果我们说对连续函数作变换时，这就是指对它的采样函数作变换。进一步说，若连续函数的拉氏变换为，因为与是唯一对应的，因此如果说对象函数作变换，也就是指对其原函数的采样函数作z变换。为了书写方便，通常把的变换记作(8－12a)因此

3、，式(8－12a)和式(8－12)是同一个意思。可见，若仅从数学观点来说，变换只不过是离散拉氏变换引入新变量后的一种变量代换而已。但是，通过这一代换，可将的超越函数表达式转变为的幂级数或有理分式表达式。后面将会看到，这将给采样系统的分析研究带来很大的方便。【例8－1】设，试求的z变换。解由于的采样函数为于是的拉氏变换式为因此(8－13)【例8－2】设，采样周期为，试求。解由于单位阶跃函数的采样函数为其拉氏变换式为因此式中，若时，则上式便可缩写成如下的闭合形式，即(8－14)条件可以换成对复变量s的限制，因为(8－15)式中，所以由上式可见，条件与等值，即（8－16)

4、式(8－16)所示为单位阶跃函数能进行拉氏变换的条件，从数学上讲，变换只是改换了变量的拉氏变换，因此，不会对单位阶跃函数能进行变换的条件增加新的要求。【例8－3】试求衰减的指数函数的变换。解将衰减指数函数在各采样时刻上的采样值1，,,,…代入式(8－12)中，得(8－17)上式中若条件成立，则式(8－17)可写成下列闭式，即(8－18)这里需要特别指出的是，相同的变换式对应于相同的采样函数，但并不一定对应于相同的连续函数，这一点可用图8－17所示。由图可见，由于采样函数，，完全相同，即==，其变换式、、必然也完全相同，即==。但十分明显，连续函数、、并不完全相同。实

5、际上，如果将的z反变换记作则它只能给出采样信号，而不能提供连续信号。综上分析可见，通过级数求和法求取已知函数变换的缺点在于：需要将无穷级数写成闭式。这在某些情况下要求很高的技巧。但函数z变换的无穷级数形式(8－12a)却具有鲜明的物理含义，这又是变换无穷级数表达形式的优点。对照式(8－12)与式(8－10)可见，变量的系数代表连续函数在各采样时刻上的采样值，而其幂指数，1，则表示从时间起点算起，以采样周期的个数来衡量采样时刻，故实际上可看作时序变量。因此，变换本身便包含着时间概念，可由函数变换的无穷级数形式清楚地看出原连续函数采样脉冲序列的分布情况。与拉氏反变换相类

6、似，求取反变换的工作要比求取变换困难得多。通常采用的方法为幂级数法(长除法)、部分分式展开法(与拉氏反变换相类似)及留数法等。这里不作专门介绍。二、z变换的重要定理类似于拉氏变换，变换也有几条常用定理，灵活应用这些定理，将可以大大简化有关运算。1线性定理设、为任意常数，和的变换分别为和，则有线性定理说明变换具有线性性质。证明：根据变换定义有2实位移定理(1)负位移定理(迟后定理)设的变换为，则有(8－19)式(8－19)便是变换的迟后定理，它说明当原函数在时间上产生个采样周期的迟后时，其相对应的变换需要乘以。证明：根据变换定义式中为正整数，令，上式即为因为时，，

7、则上式成为式(8－19)。得证。(2)正位移定理(超前定理)设的变换为，则有(8－20)式中为正整数。证明：式(8－20)得证。3复位移定理设的变换为，则有(8－21)证明：根据变换定义令，则上式变为所以4初值定理设的变换为，且极限存在，则(8－22)证明：因为所以5终值定理设的变换为，且为有限值，0,1,2,3,…，则(8－23)证明：因为采样函数如果先取到项，如图8－18()所示，则相应的变换若将后移一个采样周期，并在时间上仍取到为止，则如图8－18()所示。根据负位移定理，若的变换表示为，则有令，取，这时差值只剩下一项，即当时，及均收敛于,于是有在计