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1、高等教育出版社线性代数课后习题1-4作业答案第一章行列式1.利用对角线法则计算下列三阶行列式:(1);解=2´(-4)´3+0´(-1)´(-1)+1´1´8-0´1´3-2´(-1)´8-1´(-4)´(-1)=-24+8+16-4=-4.(3);解=bc2+ca2+ab2-ac2-ba2-cb2=(a-b)(b-c)(c-a).4.计算下列各行列式:(1);解.(2);高等教育出版社线性代数课后习题1-4作业答案解.(3);解.(4).解=abcd+ab+cd+ad+1.6.证明:(1)=(a-b)3;证明高等教育出版社线性代数课后习题1-4作业答案=(a-b)3.(2);证明.8.计算下
2、列各行列式(Dk为k阶行列式):(1),其中对角线上元素都是a,未写出的元素都是0;解高等教育出版社线性代数课后习题1-4作业答案(按第n行展开)=an-an-2=an-2(a2-1).(2);解将第一行乘(-1)分别加到其余各行,得,再将各列都加到第一列上,得=[x+(n-1)a](x-a)n第二章 矩阵及其运算1.计算下列乘积:(5);解高等教育出版社线性代数课后习题1-4作业答案=(a11x1+a12x2+a13x3a12x1+a22x2+a23x3a13x1+a23x2+a33x3).2.设,,求3AB-2A及ATB.解,.3.已知两个线性变换,,求从z1,z2,z3到x1,x2,x3
3、的线性变换.解由已知,高等教育出版社线性代数课后习题1-4作业答案所以有.4.设,,问:(1)AB=BA吗?解AB¹BA.因为,,所以AB¹BA.(3)(A+B)(A-B)=A2-B2吗?解(A+B)(A-B)¹A2-B2.因为,,,而,故(A+B)(A-B)¹A2-B2.5.举反列说明下列命题是错误的:(1)若A2=0,则A=0;解取,则A2=0,但A¹0.(2)若A2=A,则A=0或A=E;解取,则A2=A,但A¹0且A¹E.(3)若AX=AY,且A¹0,则X=Y.解取,,,高等教育出版社线性代数课后习题1-4作业答案则AX=AY,且A¹0,但X¹Y.7.设,求Ak.解首先观察,,,,××
4、××××,.用数学归纳法证明:当k=2时,显然成立.假设k时成立，则k+1时，,高等教育出版社线性代数课后习题1-4作业答案由数学归纳法原理知:.8.设A,B为n阶矩阵，且A为对称矩阵，证明BTAB也是对称矩阵.证明因为AT=A,所以(BTAB)T=BT(BTA)T=BTATB=BTAB,从而BTAB是对称矩阵.11.求下列矩阵的逆矩阵:(1);解.
5、A
6、=1,故A-1存在.因为,故.(3);解.
7、A
8、=2¹0,故A-1存在.因为,高等教育出版社线性代数课后习题1-4作业答案所以.(4)(a1a2×××an¹0).解,由对角矩阵的性质知.12.利用逆矩阵解下列线性方程组:(1);解方程组可表示
9、为,故,从而有.19.设P-1AP=L,其中,,求A11.解由P-1AP=L,得A=PLP-1,所以A11=A=PL11P-1.高等教育出版社线性代数课后习题1-4作业答案
10、P
11、=3,,,而,故.20.设AP=PL,其中,,求j(A)=A8(5E-6A+A2).解j(L)=L8(5E-6L+L2)=diag(1,1,58)[diag(5,5,5)-diag(-6,6,30)+diag(1,1,25)]=diag(1,1,58)diag(12,0,0)=12diag(1,0,0).j(A)=Pj(L)P-1.21.设Ak=O(k为正整数),证明(E-A)-1=E+A+A2+×××+Ak-1.证明
12、因为Ak=O,所以E-Ak=E.又因为E-Ak=(E-A)(E+A+A2+×××+Ak-1),所以(E-A)(E+A+A2+×××+Ak-1)=E,由定理2推论知(E-A)可逆,且(E-A)-1=E+A+A2+×××+Ak-1.高等教育出版社线性代数课后习题1-4作业答案证明一方面,有E=(E-A)-1(E-A).另一方面,由Ak=O,有E=(E-A)+(A-A2)+A2-×××-Ak-1+(Ak-1-Ak)=(E+A+A2+×××+Ak-1)(E-A),故(E-A)-1(E-A)=(E+A+A2+×××+Ak-1)(E-A),两端同时右乘(E-A)-1,就有(E-A)-1(E-A)=E+A+
13、A2+×××+Ak-1.22.设方阵A满足A2-A-2E=O,证明A及A+2E都可逆,并求A-1及(A+2E)-1.证明由A2-A-2E=O得A2-A=2E,即A(A-E)=2E,或,由定理2推论知A可逆,且.由A2-A-2E=O得A2-A-6E=-4E,即(A+2E)(A-3E)=-4E,或由定理2推论知(A+2E)可逆,且.证明由A2-A-2E=O得A2-A=2E,两端同时取行列式得
14、A2-A
