8-2空间图形的基本关系与公理

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1、一、选择题1．已知平面外一点P和平面内不共线三点A、B、C，A′、B′、C′分别在PA、PB、PC上，若延长A′B′、B′C′、A′C′与平面分别交于D、E、F三点，则D、E、F三点(　　)A．成钝角三角形　B．成锐角三角形C．成直角三角形D．在一条直线上[答案]　D[解析]　D、E、F为已知平面与平面A′、B′、C′的公共点，由公理3知，D、E、F共线．2．若空间中有四个点，则“这四个点中有三点在同一条直线上”是“这四个点在同一个平面上”的(　　)A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充分必要条件D．既非充

2、分又非必要条件[答案]　A[解析]　若有三点共线于l，当第四点在l上时共面，当第四点不在l上时，l与该点确定一个平面α，这四点共面于α；若四点共面，则未必有三点共线．3．(2011·浙江文，4)若直线l不平行于平面α，且lα，则(　　)A．α内的所有直线与l异面B．α内不存在与l平行的直线C．α内存在唯一的直线与l平行D．α内的直线与l都相交[答案]　B[解析]　本题考查了线面、线线关系问题．由题意可得，l与α相交，则α内不存在与l平行的直线；(反证法)假若∃ml，则m∥l又∵lα，∴l∥α这与l不平行平

3、面α相矛盾．故假设错误．4．(文)在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E、F分别为棱AA1、CC1的中点，则在空间中与三条直线A1D1、EF、CD都相交的直线(　　)A．不存在　　　　B．有且只有两条C．有且只有三条D．有无数条[答案]　D[解析]　在EF上任意取一点M，直线A1D1与M确定一个平面，这个平面与CD有且仅有1个交点N，当M取不同的位置就确定不同的平面，从而与CD有不同的交点N，而直线MN与这3条异面直线都有交点．(理)如下图，在棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1中，O是底面ABCD的中

4、心，E、F分别是CC1，AD的中点，那么异面直线OE与FD1所成角的余弦值等于(　　)A.　　　B.　　　C.　　　D.[答案]　B[解析]　取C1D1的中点G，连OG，GE，易知∠GOE就是两直线OE与FD1所成的角或所成角的补角．在△GOE中由余弦定理知cos∠GOE＝＝＝.5．(2011·江西理，8)已知α1，α2，α3是三个相互平行的平面，平面α1，α2之间的距离为d1，平面α2，α3之间的距离为d2，直线l与α1，α2，α3分别相交于P1，P2，P3.那么“P1P2＝P2P3”是“d1＝d2”的(　　

5、)A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件[分析]　本题借助平面的基本性质，考查了逻辑推理及立体几何知识，还考查了空间想象能力以及数形结合思想．[答案]　C[解析]　如上图，α1∥α2∥α3，l与α1，α2，α3分别交于点P1，P2，P3；作FP3⊥α1，且FP3与α2交于点E，则FE＝d1，EP3＝d2.根据“两平行平面与一平面相交所得的交线平行”得P1F∥P2E，则＝，显然“P1P2＝P2P3”是“d1＝d2”的充分必要条件．6．(文)已知m、n为异面直线，m平面α，n

6、平面β，α∩β＝l，则l(　　)A．与m、n都相交B．与m、n中至少一条相交C．与m、n都不相交D．与m、n中的一条直线相交[答案]　B[解析]　若m、n都不与l相交，∵mα，nβ，∴m∥l、n∥l，∴m∥n∥l，这与m、n为异面直线矛盾，故l与m、n中至少一条相交．(理)将正方形ABCD沿对角线BD折起，使平面ABD⊥平面CBD，E是CD的中点，则异面直线AE、BC所成角的正切值为(　　)A.　　　　B.　　　　C．2　　　　D.[答案]　A[解析]　取BD中点F，连AF、EF，∠AEF是AE、BC所成

7、的角，∵平面ABD⊥平面CBD，∴AF⊥EF，∴tan∠AEF＝.二、填空题7．α，β，γ几是三个平面，a，b是两条直线，有下列三个条件．①a∥r，bβ，②a∥γ，b∥β，③b∥β，aγ如果命题“α∩β＝a，br，且________则a∥b”为真命题．[答案]　①③[解析]　①中α∥γ，aβ，β∩γ＝b⇒a∥b；③b∥β，bγ，β∩γ＝a⇒a∥b.8．如下图，在四面体ABCD中，E、F分别是AC和BD的中点，若CD＝2AB＝4，EF⊥AB，则EF与CD所成的角是________．[答案]　30°[解析

8、]　取AD的中点H.连接FH、HE.则EH∥CD，FH∥AB，∴∠FEH为EF、CD所成角，∴EF⊥FH，EH＝2，又FH＝1，∴∠FEH＝30°.∴EF与CD所成的角为30°.三、解答题9．正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1.求：(1)AB与B1C所成的角；(2)AB与B1D的距离．[解析]　(1)∵AB∥CD，∴∠B1CD为AB和B1C所成的角，∵DC⊥平面BB1C1C，∴