江苏省13大市2013届高三上学期期末数学试题分类汇编--圆锥曲线

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1、江苏省13大市2013届高三上学期期末数学试题分类汇编圆锥曲线一、填空题1、(常州市2013届高三期末)已知双曲线的一条渐近线经过点,则该双曲线的离心率的值为▲答案:2、(连云港市2013届高三期末)等轴双曲线C的中心在原点,焦点在x轴上,C与抛物线y2=4x的准线交于A、B两点,AB=,则C的实轴长为▲.答案:13、(南京市、盐城市2013届高三期末)已知、分别是椭圆的左、右焦点,点是椭圆上的任意一点,则的取值范围是▲.答案:4、(南通市2013届高三期末)已知双曲线的一个焦点与圆x2+y2-10x=0的圆心重合,且双曲线的离心率等于,则该双曲线的标准方程为▲.答案:.5、(徐

2、州、淮安、宿迁市2013届高三期末)已知双曲线的右焦点为若以为圆心的圆与此双曲线的渐近线相切,则该双曲线的离心率为▲.答案:6、(苏州市2013届高三期末)在平面直角坐标系中,双曲线的左顶点为,过双曲线的右焦点作与实轴垂直的直线交双曲线于,两点,若为直角三角形,则双曲线的离心率为.答案:27、(泰州市2013届高三期末)设双曲线的左、右焦点分别为,,点P为双曲线上位于第一象限内一点,且的面积为6,则点P的坐标为答案:8、(无锡市2013届高三期末)如图,过抛物线y2=2px(p>0)的焦点F的直线L交抛物线于点A、B,交其准线于点C,若

3、BC

4、=2

5、BF

6、,且

7、AF

8、=3,则此抛

9、物线的方程为。答案:9、(扬州市2013届高三期末)已知圆的圆心为抛物线的焦点,又直线与圆相切,则圆的标准方程为▲.答案:10、(镇江市2013届高三期末)圆心在抛物线上,并且和抛物线的准线及轴都相切的圆的标准方程为▲.二、解答题1、(常州市2013届高三期末)如图,在平面直角坐标系xoy中,已知分别是椭圆E:的左、右焦点,A,B分别是椭圆E的左、右顶点,且.(1)求椭圆E的离心率;(2)已知点为线段的中点,M为椭圆上的动点(异于点、),连接并延长交椭圆于点,连接、并分别延长交椭圆于点、,连接,设直线、的斜率存在且分别为、,试问是否存在常数,使得恒成立?若存在,求出的值;若不存在

10、,说明理由.解:(1),.,化简得,故椭圆E的离心率为.(2)存在满足条件的常数,.点为线段的中点,,从而,,左焦点,椭圆E的方程为.设,,,,则直线的方程为,代入椭圆方程,整理得,.,.从而,故点.同理,点.三点、、共线,,从而.从而.故,从而存在满足条件的常数,.2、(连云港市2013届高三期末)已知椭圆C:(a>b>0)的上顶点为A,左,右焦点分别为F1,F2,且椭圆C过点P(,),以AP为直径的圆恰好过右焦点F2.(1)求椭圆C的方程;(2)若动直线l与椭圆C有且只有一个公共点,试问:在轴上是否存在两定点,使其到直线l的距离之积为1?若存在,请求出两定点坐标;若不存在,请

11、说明理由.xyOF2(第18题图)PAF11解:(1)因为椭圆过点P(,),所以=1,解得a2=2,………………2分又以AP为直径的圆恰好过右焦点F2.所以AF2^F2P,即-×=-1,b2=c(4-3c).……6分而b2=a2-c2=2-c2,所以c2-2c+1=0,解得c2=1,故椭圆C的方程是+y2=1.………………………8分(2)①当直线l斜率存在时,设直线l方程为y=kx+p,代入椭圆方程得(1+2k2)x2+4kpx+2p2-2=0.因为直线l与椭圆C有只有一个公共点,所以△=16k2p2-4(1+2k2)(2p2-2)=8(1+2k2―p2)=0,即1+2k2=p2

12、.…………………………………10分设在x轴上存在两点(s,0),(t,0),使其到直线l的距离之积为1,则×==1,即(st+1)k+p(s+t)=0(*),或(st+3)k2+(s+t)kp+2=0(**).由(*)恒成立,得解得,或,…………………………14分而(**)不恒成立.②当直线l斜率不存在时,直线方程为x=±时,定点(-1,0)、F2(1,0)到直线l的距离之积d1××d2=(-1)(+1)=1.综上,存在两个定点(1,0),(-1,0),使其到直线l的距离之积为定值1.………16分3、(南京市、盐城市2013届高三期末)如图,在平面直角坐标系中,已知椭圆经过点,椭

13、圆的离心率,、分别是椭圆的左、右焦点.(1)求椭圆的方程;(2)过点作两直线与椭圆分别交于相异两点、.①若直线过坐标原点,试求外接圆的方程;②若的平分线与轴平行,试探究直线的斜率是否为定值?若是,请给予证明;若不是,请说明理由.解:(1)由,,得,故椭圆方程为………3分又椭圆过点,则,解得,所以椭圆的方程为………5分(2)①记的外接圆的圆心为.因为,所以的中垂线方程为,又由,,得的中点为,而,所以的中垂线方程为,由,得…8分所以圆T的半径为,故的外接圆的方程为………………10分(

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