极惯性矩常用计算公式

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1、极惯性矩常用计算公式：Ip=∫Aρ^2dA　　矩形对于中线(垂直于h边的中轴线)的惯性矩：b*h^3/12　　三角形：b*h^3/36　　圆形对于圆心的惯性矩：π*d^4/64　　环形对于圆心的惯性矩：π*D^4*（1-α^4)/64;α=d/D§16-1静矩和形心　　平面图形的几何性质一般与杆件横截面的几何形状和尺寸有关，下面介绍的几何性质表征量在杆件应力与变形的分析与计算中占有举足轻重的作用。　　静矩：平面图形面积对某坐标轴的一次矩，如图Ⅰ-1所示。　　定义式：　　　　，　　(Ⅰ-1）量纲为长度的三次方。由于均质薄板的重心与平面图形的形心有

2、相同的坐标和。则　　　　由此可得薄板重心的坐标为　　　　　　　　　　同理有　　　　　　　所以形心坐标　　　　　　　　　　，　　　　　　　　　　（Ⅰ-2）或　　　　　　　　　　，由式（Ⅰ-2）得知，若某坐标轴通过形心，则图形对该轴的静矩等于零，即，；，则；反之，若图形对某一轴的静矩等于零，则该轴必然通过图形的形心。静矩与所选坐标轴有关，其值可能为正，负或零。　　如一个平面图形是由几个简单平面图形组成，称为组合平面图形。设第i块分图形的面积为，形心坐标为，则其静矩和形心坐标分别为　　　　　　　　　　，　　　　　　（Ⅰ-3）　　　　　　　，　　（Ⅰ-

3、4）　　【例I-1】求图Ⅰ-2所示半圆形的及形心位置。　　【解】由对称性，，。现取平行于轴的狭长条作为微面积　　　　所以　　　　读者自己也可用极坐标求解。　　【例I-2】确定形心位置，如图Ⅰ-3所示。　　【解】将图形看作由两个矩形Ⅰ和Ⅱ组成，在图示坐标下每个矩形的面积及形心位置分别为　　矩形Ⅰ：mm2　　　mm，mm　　矩形Ⅱ：mm2　　　mm，mm整个图形形心的坐标为　　　　　　　　　　　　　　　　§16-2惯性矩和惯性半径　　惯性矩：平面图形对某坐标轴的二次矩，如图Ⅰ-4所示。　　，　(Ⅰ-5)量纲为长度的四次方，恒为正。相应定义　　，　　

4、　(Ⅰ-6)为图形对轴和对轴的惯性半径。　　组合图形的惯性矩　　设为分图形的惯性矩，则总图形对同-轴惯性矩为　　，　　　(Ⅰ-7)若以表示微面积到坐标原点的距离,则定义图形对坐标原点的极惯性矩　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（Ⅰ-8）因为　　　　　　　　　　　　　　所以极惯性矩与（轴）惯性矩有关系　　　　　　　　　　　　　　　（Ⅰ-9）式（Ⅰ-9）表明，图形对任意两个互相垂直轴的（轴）惯性矩之和，等于它对该两轴交点的极惯性矩。下式　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（Ⅰ-10）定义为图形对一对正交轴、轴的惯性积。量纲是长度的

5、四次方。可能为正，为负或为零。若y，z轴中有一根为对称轴则其惯性积为零。　　【例I-3】求如图Ⅰ-5所示圆形截面的。　　【解】如图所示取，根据定义，由轴对称性，则有　　　　　　　　　（I-10a）　　　　　　由公式（Ⅰ-9）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（I-10b）对于空心圆截面，外径为，内径为，则　　　　　　　　　　　　　　　(Ⅰ-12a)　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（I-12b）　　【例I-4】求如图Ⅰ-6所示图形的及。　　【解】取平行于轴的狭长矩形，由于，其中宽度随变化，　　则　　　　　由，如图　　　　　附录A平

6、面图形的几何性质§A-1引言不同受力形式下杆件的应力和变形，不仅取决于外力的大小以及杆件的尺寸，而且与杆件截面的几何性质有关。当研究杆件的应力、变形，以及研究失效问题时，都要涉及到与截面形状和尺寸有关的几何量。这些几何量包括：形心、静矩、惯性矩、惯性半径、极惯性短、惯性积、主轴等，统称为“平面图形的几何性质”。研究上述这些几何性质时，完全不考虑研究对象的物理和力学因素，作为纯几何问题加以处理。§A-2静矩、形心及相互关系任意平面几何图形如图A-1所示。在其上取面积微元dA，该微元在Oxy坐标系中的坐标为x、y。定义下列积分：（A-1）分别称为图

7、形对于x轴和y轴的截面一次矩或静矩，其单位为。如果将dA视为垂直于图形平面的力，则ydA和zdA分别为dA对于z轴和y轴的力矩；和则分别为dA对z轴和y轴之矩。图A-1图形的静矩与形心图形几何形状的中心称为形心,若将面积视为垂直于图形平面的力，则形心即为合力的作用点。设、为形心坐标，则根据合力之矩定理(A-2)或(A-3)这就是图形形心坐标与静矩之间的关系。根据上述定义可以看出：1.静矩与坐标轴有关，同一平面图形对于不同的坐标轴有不同的静矩。对某些坐标轴静矩为正；对另外某些坐标轴为负；对于通过形心的坐标轴，图形对其静矩等于零。2.如果已经计算出

8、静矩，就可以确定形心的位置；反之，如果已知形心位置，则可计算图形的静矩。实际计算中，对于简单的、规则的图形，其形心位置可以直接判断。例如矩形、正方形、