机电控制工程基础课程辅导-4

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1、第4章根轨迹法辅导【学习目标】1.正确理解开环零极点和闭环零极点的概念以及根轨迹方程；2.正确理解根轨迹法则，能熟练地运用法则绘制单位负反馈系统的闭环根轨迹；3.了解闭环系统零极点分布和阶跃响应间的关系。根轨迹所谓根轨迹是指控制系统开环传递函数的某一参数从零变化到无穷时，闭环特征根在s平面上移动的轨迹。一般取开环增益为可变参数，但也可以用系统中的其他参数，如某个环节的时间常数等。开环传递函数为其闭环传递函数为则闭环特征方程为闭环特征根为从特征根的表达式可以看出，每个特征根都是K的函数，它们将随着K的变化而变化。如果在s平面上把不同K值下的闭环特征根连成线，则得到了该系统的根轨迹，如图4－

2、1所示。图4－1二阶系统根轨迹图4－2闭环系统方框图根轨迹法就是利用已知的开环极、零点的位置，根据闭环特征方程所确定的几何条件，通过图解法求出由0→∞时的所有闭环极点。6根轨迹的绘制法则在s平面上满足幅角条件式(4-6)的所有点都是系统的特征根，这些点的连线就是根轨迹。在绘制根轨迹时，通常首先求出＝0和＝∞时的特征根，再根据绘制法则画出0＜＜∞时的根轨迹草图；一.根轨迹的起点（Kg=0），当＝0时，系统的开环极点就是闭环极点。绘制根轨迹时，我们通常是从＝0时的闭环极点画起，即开环极点是闭环根轨迹曲线的起点。起点数n就是根轨迹曲线的条数。二.根轨迹的终点（Kg=∞）系统的开环零点就是=∞时

3、的闭环极点，即根轨迹曲线的终点。其个数为m，另外的n－m个根轨迹终点在无穷远。三.根轨迹的分支数和对称性根轨迹在s平面上的分支数（条数）等于开环特征方程的阶数n，即与开环极点个数相同。此外，在一般控制系统的特征方程中，各项系数都是实数。因此，特征根或是实数，或是共扼复数，则根轨迹一定是对称于实轴。四.实轴上的根轨迹当开环传递函数有实数极点、零点时，如图4－4所示，这意味着实轴上有根轨迹的起点和终点。这时，必须确定实轴上哪一区间有根轨迹，哪一区间没有根轨迹。图4－4实轴上的根轨迹图4－5分离点和会合点五.根轨迹的分离点和会和点如图4-5所示，在有根轨迹的实轴上，存在着两个开环极点时，必然有

4、一个分离点a。同样，在有根轨迹的实轴上，存在两个开环零点(包括无穷远零点)时，必然有一个会合点b。当为a(a点的值)或b(b点的值)时，特征方程都将出现重根。这是两者的共性。此外，分离点a的值，是其实轴根轨迹上的最大值；会合点b的值，是其实轴根轨迹上的最小值。根据重根现象或的极值条件，都可以确定分离点和会合6【例4-2】已知某系统的开环传递函数为式中＞0，＞＞＞0。试求其根轨迹的分离点和会合点。【解】由于，上式对s求导后得；代入，得由此得分离点和会合点分别为六.根轨迹的渐近线1、渐近线与实轴的交角——渐近线倾角设无穷远处有特征根，则有复平面上所有开环有限零点和开环极点到的矢量幅角都相等，

5、即把上式带入幅角条件得则渐近线倾角为当μ由0增大时，渐近线倾角将重复出现。故独立的渐近线只有(n-m)条。【例】设某系统的开环传递函数为试计算其根轨迹的渐近线倾角。【解】由其开环传递函数可知，m=0，n=3，代入式(4-10)中得该系统的根轨迹渐近线倾角为七.根轨迹的出射角和入射角6当开环极点位于复平面上时，需要根据相角条件计算根轨迹起点的斜率，以确定根轨迹从复数极点出发后的走向。同理，当开环零点位于复平面上时，需要求出根轨迹终点的斜率，以确定根轨迹是怎样终止于复数零点的。根轨迹离开开环复数极点处的切线和正实轴的夹角称为出射角，根轨迹进入开环复数零点处的切线与正实轴的夹角称为入射角。八.

6、根轨迹和虚轴的交点根轨迹和虚轴的交点意味着特征根的实部等于零，系统处于临界稳定上。求出该交点所对应的值，显然是重要的。其求解方法可以用劳斯判据，也可用令特征方程中的s＝jω，然后分别令其实部和虚部等于零的方法求得。一.二阶系统的根轨迹1.无开环零点时设无开环零点时的二阶系统的结构图如图4-8所示。其开环传递函数为式中——开环根轨增益，即；图4－8二阶系统结构图——开环增益。绘出二阶系统的根轨迹曲线，如图4-9所示。2.有开环零点时有开环零点时的二阶系统的结构图如图4-10（a）所示。它的开环传递函数为式中(a)结构图(b)根轨迹图图4－10具有开环零点的二阶系统二.三阶系统的根轨迹1.无

7、开环零点时无开环零点时的三阶系统的方框图示于图4-13中，其开环传递函数为6式中绘制该系统的根轨迹。图4-13三阶系统结构图1）三条根轨迹的起点分别为，，；三条根轨迹的终点都在无穷远(因)；2）实轴上的根轨迹位于0～-1和-4～-∞两个区间；5）根轨迹与虚轴的交点。该系统的闭环特征方程为令s＝jω，得上式实部为零，得虚部为零，得则根轨迹与实轴的交点为ω＝±2。而ω＝0为根轨迹的起点。根轨迹与虚轴相交处的为因为，故得系统的临界开环增益